Tính với S là phần mặt nón z = \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \) nằm giữa hai mặt z = 1 và z = 2
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Bài toán yêu cầu tính tích phân mặt loại 1 trên mặt nón. Ta có z = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), suy ra \(z_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) và \(z_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) . Vậy \(\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).
Miền D là hình tròn \(1 \le x^2 + y^2 \le 4\). Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(1 \le r \le 2\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\). Vậy tích phân là:
\(I = \iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, \sqrt{x^2 + y^2}) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA = \iint_D (x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 r dr d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r^3 dr = \sqrt{2} (2\pi) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 2\pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \sqrt{2} \frac{15}{4} = \frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\)
Đề bài có lẽ đã có sự nhầm lẫn khi cho các đáp án, không có đáp án nào đúng với kết quả tính toán là \(\frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\). Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) thì tích phân sẽ là:
\(I = \iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D (x^2 + y^2 + z^2) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA = \iint_D (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 r dr d\theta = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r^3 dr = 2\sqrt{2} (2\pi) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 4\pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 4\pi \sqrt{2} \frac{15}{4} = 15\sqrt{2}\pi\)
Trong trường hợp đề bài cho \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 \), không có đáp án nào đúng.
