Tính diện tích mặt \(S\): \(z = 2 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,z \le 3\)
Đáp án đúng: C
Câu hỏi liên quan
Tham số hóa mặt cong \(S\):
\(\overrightarrow{r}(y,\varphi ) = (y\cos \varphi ,y,y\sin \varphi )\), với \(1 \le y \le 2, 0 \le \varphi \le \pi \)
Tính các đạo hàm riêng:
\(\overrightarrow{{{r'}_y}} = (\cos \varphi ,1,\sin \varphi )\)
\(\overrightarrow{{{r'}_\varphi }} = ( - y\sin \varphi ,0,y\cos \varphi )\)
Tính tích có hướng:
\(\overrightarrow{{{r'}_y}} \times \overrightarrow{{{r'}_\varphi }} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow{i}}&{\overrightarrow{j}}&{\overrightarrow{k}}\\ {\cos \varphi }&1&{\sin \varphi }\\{ - y\sin \varphi }&0&{y\cos \varphi }\end{array}} \right| = (y\cos \varphi , - y,y\sin \varphi )\)
Tính độ dài của tích có hướng:
\(\|\overrightarrow{{{r'}_y}} \times \overrightarrow{{{r'}_\varphi }}\| = \sqrt {{{(y\cos \varphi )}^2} + {{( - y)}^2} + {{(y\sin \varphi )}^2}} = \sqrt {{y^2}{{\cos }^2}\varphi + {y^2} + {y^2}{{\sin }^2}\varphi } = \sqrt {{y^2}({{\cos }^2}\varphi + 1 + {{\sin }^2}\varphi )} = \sqrt {2{y^2}} = y\sqrt 2 \)
Tính diện tích mặt cong:
\(S = \mathop {\int }\limits_0^\pi \mathop {\int }\limits_1^2 {\left| {\overrightarrow{{{r'}_y}} \times \overrightarrow{{{r'}_\varphi }}} \right|dyd\varphi } = \mathop {\int }\limits_0^\pi \mathop {\int }\limits_1^2 {y\sqrt 2 dyd\varphi } = \sqrt 2 \mathop {\int }\limits_0^\pi d \varphi \mathop {\int }\limits_1^2 {ydy} \)
\(= \sqrt 2 \left. {\varphi } \right|_0^\pi .\left. {\frac{{{y^2}}}{2}} \right|_1^2 = \sqrt 2 (\pi - 0).\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2}} \right) = \sqrt 2 \pi .\left( {2 - \frac{1}{2}} \right) = \sqrt 2 \pi .\frac{3}{2} = \frac{{3\sqrt 2 \pi }}{2}\)
\(\frac{{\partial {z_1}}}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\)
\(\frac{{\partial {z_1}}}{{\partial y}} = \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\)
\(\overrightarrow {grad} {z_1} = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }},rac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)
Tại M(3,4): \(\overrightarrow {grad} {z_1}(M) = \left( {\frac{3}{5},rac{4}{5}} \right)\)
\(\frac{{\partial {z_2}}}{{\partial x}} = 1 + \frac{{\sqrt 3 y}}{{2\sqrt x y}} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{x}{y}} }}\)
\(\frac{{\partial {z_2}}}{{\partial y}} = - 3 + \frac{{\sqrt 3 x}}{{2\sqrt {xy} }} = - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{y}{x}} }}\)
\(\overrightarrow {grad} {z_2} = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{x}{y}} }}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{y}{x}} }}} \right)\)
Tại M(3,4): \(\overrightarrow {grad} {z_2}(M) = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{3}{4}} }}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{4}{3}} }}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\frac{2}{{\sqrt 3 }}}}} \right) = (2, - 2)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vector gradient. Ta có:
\(cos\alpha = \frac{{\overrightarrow {grad} {z_1}.\overrightarrow {grad} {z_2} }}{{\left| {\overrightarrow {grad} {z_1}} \right|\left| {\overrightarrow {grad} {z_2}} \right|}} = \frac{{\frac{3}{5}.2 + \frac{4}{5}.( - 2)}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{ - \frac{2}{5}}}{{\sqrt 1 \sqrt 8 }} = \frac{{ - 2}}{{5.2\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\)
\(\alpha = arccos\left( { - \frac{1}{{5\sqrt 2 }}} \right) \approx 1.72(rad)\)
Đáp án gần đúng nhất là B. 1 (thực tế là 1.72, đề bài không có đáp án đúng)
Ta có:
\(\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)\)
Tính các đạo hàm riêng:
\(\frac{\partial u}{\partial x} = sinz\)
\(\frac{\partial u}{\partial y} = -cosz\)
\(\frac{\partial u}{\partial z} = xcosz + ysinz\)
Vậy:
\(\nabla u = (sinz, -cosz, xcosz + ysinz)\)
Tại gốc tọa độ (0, 0, 0), ta có:
\(\nabla u(0, 0, 0) = (sin0, -cos0, 0cos0 + 0sin0) = (0, -1, 0)\)
Vậy, hướng mà sự biến thiên của hàm u tại gốc tọa độ là lớn nhất là \(\vec l = (0, -1, 0)\).
Do đó, đáp án đúng là B.

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy

Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán

Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.