Tính đạo hàm theo hướng \(\vec l = (1,2, - 2)\) của \(u = {e^x}({y^2} + z) - 2xy{z^3}\) tại \(A(0,1,2)\)

Để tính thông lượng của trường vector \(\vec F = x\vec i + ({y^3} + 2z)\vec j + (3{x^2}z - x)\vec k\) qua mặt cầu \(S:{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) hướng ra ngoài, ta sử dụng định lý Gauss (định lý phân kỳ). Định lý này nói rằng thông lượng của một trường vector qua một mặt kín bằng tích phân ba lần của divergence của trường vector trên miền giới hạn bởi mặt đó.

Tính divergence của \(\vec F\):

\(\nabla \cdot \vec F = \frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \frac{{\partial R}}{{\partial z}}\) trong đó \(\vec F = P\vec i + Q\vec j + R\vec k\)

Ở đây, \(P = x\), \(Q = {y^3} + 2z\), \(R = 3{x^2}z - x\)

Vậy:

\(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = \frac{{\partial x}}{{\partial x}} = 1\)

\(\frac{{\partial Q}}{{\partial y}} = \frac{{\partial ({y^3} + 2z)}}{{\partial y}} = 3{y^2}\)

\(\frac{{\partial R}}{{\partial z}} = \frac{{\partial (3{x^2}z - x)}}{{\partial z}} = 3{x^2}\)

Do đó, \(\nabla \cdot \vec F = 1 + 3{y^2} + 3{x^2}\)

Bây giờ, ta tính tích phân ba lần của divergence trên miền \(V\) là khối cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 1\):

\(\iiint_V {(\nabla \cdot \vec F)dV} = \iiint_V {(1 + 3{x^2} + 3{y^2})dV} \)

Sử dụng tọa độ cầu:

\(x = r\sin \theta \cos \phi\), \(y = r\sin \theta \sin \phi\), \(z = r\cos \theta\)

\(dV = {r^2}\sin \theta dr d\theta d\phi\)

\({x^2} + {y^2} = {r^2}{\sin ^2}\theta\)

Tích phân trở thành:

\(\int_0^{2\pi } {\int_0^\pi {\int_0^1 {(1 + 3{r^2}{{\sin }^2}\theta ){r^2}\sin \theta drd\theta d\phi } } } \)

\(= \int_0^{2\pi } {d\phi } \int_0^\pi {\int_0^1 {({r^2} + 3{r^4}{{\sin }^2}\theta )\sin \theta drd\theta } } \)

\(= 2\pi \int_0^\pi {\left[ {\frac{{{r^3}}}{3} + \frac{{3{r^5}}}{5}{{\sin }^2}\theta } \right]_0^1\sin \theta d\theta } \)

\(= 2\pi \int_0^\pi {\left( {\frac{1}{3} + \frac{3}{5}{{\sin }^2}\theta } \right)\sin \theta d\theta } \)

\(= 2\pi \left[ {\int_0^\pi {\frac{1}{3}\sin \theta d\theta } + \int_0^\pi {\frac{3}{5}{{\sin }^2}\theta \sin \theta d\theta } } \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{1}{3}[ - \cos \theta ]_0^\pi + \frac{3}{5}\int_0^\pi {(1 - {{\cos }^2}\theta )\sin \theta d\theta } } \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{1}{3}(2) + \frac{3}{5}\int_0^\pi {(\sin \theta - {{\cos }^2}\theta \sin \theta )d\theta } } \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{2}{3} + \frac{3}{5}\left[ { - \cos \theta + \frac{{{{\cos }^3}\theta }}{3}} \right]_0^\pi } \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{2}{3} + \frac{3}{5}\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)} \right] = 2\pi \left[ {\frac{2}{3} + \frac{3}{5}\left( {\frac{4}{3}} \right)} \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{2}{3} + \frac{4}{5}} \right] = 2\pi \left[ {\frac{{10 + 12}}{{15}}} \right] = 2\pi \left[ {\frac{{22}}{{15}}} \right] = \frac{{44\pi }}{{15}}\)