JavaScript is required

Biết \(\vec F = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left[ {(2{x^2}yz + yz)\vec i + (2{y^2}xz + xz)\vec j + (2{z^2}yx + xy)\vec k} \right]\) là trường thế. Tìm hàm thế vị.

A.

\(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C\)

B.

\(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xy + C\)

C.

\(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xy + C\)

D.

\(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A


Ta có \(\vec F = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left[ {(2{x^2}yz + yz)\vec i + (2{y^2}xz + xz)\vec j + (2{z^2}yx + xy)\vec k} \right]\). Giả sử hàm thế vị có dạng u(x,y,z). Khi đó: \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{x^2}yz + yz)\) \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{y^2}xz + xz)\) \(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{z^2}yx + xy)\) Từ \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{x^2}yz + yz)\) suy ra: \(u = \int {{e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{x^2}yz + yz)dx} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C(y,z)\) Khi đó, \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{y^2}xz + xz) + \frac{{\partial C}}{{\partial y}}(y,z)\) Suy ra \(\frac{{\partial C}}{{\partial y}}(y,z) = 0\) hay C(y,z) = C(z). Do đó \(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C(z)\) Tiếp tục, \(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{z^2}yx + xy) + C'(z)\) Suy ra C'(z) = 0 hay C(z) = C (hằng số). Vậy hàm thế vị là \(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C\)

Câu hỏi liên quan