Tính thông lượng của \(\vec F = ({x^2} - 2y + z)\vec i - ({z^2} + 2xy)\vec j + x\vec k\) qua phía trên mặt nón \(z = 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) cắt bởi hai mặt phẳng \(z = 2,z = 5\)

Để tính thông lượng của trường vector \(\vec F = {x^3}\vec i + {y^2}\vec j + \frac{{{z^2}}}{2}\vec k\) qua biên ngoài \(S\) của miền \(V\) cho bởi \(|x - y| \le 1, |y - z| \le 1, |z + x| \le 1\), ta sử dụng định lý Gauss (định lý phân kỳ). Định lý này cho phép ta chuyển tích phân mặt qua biên \(S\) thành tích phân ba lớp trên miền \(V\) của div\(\vec F\).

div\(\vec F\) = \(\frac{{\partial {x^3}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {y^2}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial (\frac{{{z^2}}}{2})}}{{\partial z}} = 3{x^2} + 2y + z\)

Thông lượng \(\Phi = {\iiint }_V {(\nabla.\vec F)dV} = {\iiint }_V {(3x^2 + 2y + z)dV} \)

Đặt \(x' = x - y, y' = y - z, z' = z + x\). Khi đó, \(|x'| \le 1, |y'| \le 1, |z'| \le 1\)

Ta có:\(x = \frac{1}{2}(x' - y' + z'), y = \frac{1}{2}(x' + y' + z'), z = \frac{1}{2}(-x' + y' + z')\)

Vậy:

\(3{x^2} + 2y + z = 3(\frac{1}{2}(x' - y' + z'))^2 + 2(\frac{1}{2}(x' + y' + z')) + \frac{1}{2}(-x' + y' + z') = \frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2} - 2x'y' - 2y'z' + 2x'z') + x' + 2y' + \frac{3}{2}z'\)

Jacobian của phép biến đổi là:

\(J = \begin{vmatrix} \frac{{\partial x}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial x}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial x}}{{\partial z'}} \\ \frac{{\partial y}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial y}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial y}}{{\partial z'}} \\ \frac{{\partial z}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial z}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial z}}{{\partial z'}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\)

Khi đó, \(\Phi = \int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {(3x^2 + 2y + z)|J|dx'dy'dz'} } } = \int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {(\frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2} - 2x'y' - 2y'z' + 2x'z') + x' + 2y' + \frac{3}{2}z')\frac{1}{2}dx'dy'dz'} } }\)

\( = \frac{1}{2}\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2})dx'dy'dz'} } } = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.3.\frac{2}{3}.2.2 = 3\)

Ta sẽ sử dụng tích phân Euler loại 1 (Hàm Beta) để giải quyết tích phân này. Hàm Beta được định nghĩa là:

\(B(m,n) = \int_0^1 {x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx} = \frac{{\Gamma(m)\Gamma(n)}}{{\Gamma(m+n)}}\)

Trong đó, \(\Gamma(x)\) là hàm Gamma.

Xét tích phân đã cho: \(\int_0^1 {\frac{1}{{\sqrt[{30}]{{1 - {x^{30}}}}}}} dx\)

Đặt \(t = x^{30} \Rightarrow x = t^{\frac{1}{{30}}} \Rightarrow dx = \frac{1}{{30}}t^{\frac{1}{{30}} - 1} dt = \frac{1}{{30}}t^{-\frac{{29}}{{30}}} dt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0\); \(x = 1 \Rightarrow t = 1\)

Khi đó, tích phân trở thành:

\(\int_0^1 {\frac{1}{{\sqrt[{30}]{{1 - t}}}}\frac{1}{{30}}{t^{ - \frac{{29}}{{30}}}}dt} = \frac{1}{{30}}\int_0^1 {t^{ - \frac{{29}}{{30}}}(1 - t)^{ - \frac{1}{{30}}} dt} \)

So sánh với hàm Beta, ta có: \(m - 1 = -\frac{{29}}{{30}} \Rightarrow m = \frac{1}{{30}}\) và \(n - 1 = -\frac{1}{{30}} \Rightarrow n = \frac{{29}}{{30}}\)

Vậy:

\(\frac{1}{{30}}\int_0^1 {t^{ - \frac{{29}}{{30}}}(1 - t)^{ - \frac{1}{{30}}} dt} = \frac{1}{{30}}B\left( {\frac{1}{{30}},\frac{{29}}{{30}}} \right) = \frac{1}{{30}}\frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}}} \right)\Gamma \left( {\frac{{29}}{{30}}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}} + \frac{{29}}{{30}}} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{30}}\frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{{30}}} \right)}}{{\Gamma (1)}} = \frac{1}{{30}}\frac{{\frac{\pi }{{\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}} \right) }}}}{1} = \frac{\pi }{{30\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}} \right)}}\)

Vậy đáp án đúng là B.