Tính \(\int_C y ds\) với \(C\) là đường \(x = {y^2}\) đi từ \(O(0,0)\) đến \(A(1,1)\)
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để tính tích phân đường loại 1 \(\int_C y ds\), ta cần tham số hóa đường cong \(C\) và tính độ dài vi phân \(ds\). Trong trường hợp này, đường cong \(C\) được cho bởi \(x = y^2\) đi từ \(O(0,0)\) đến \(A(1,1)\).
Ta có thể tham số hóa đường cong \(C\) theo biến \(y\) như sau: \(x(y) = y^2\), \(y(y) = y\), với \(0 \le y \le 1\).
Khi đó, đạo hàm của \(x(y)\) và \(y(y)\) theo \(y\) là:
\(\frac{dx}{dy} = 2y\) và \(\frac{dy}{dy} = 1\).
Độ dài vi phân \(ds\) được tính bởi:
\(ds = \sqrt{(\frac{dx}{dy})^2 + (\frac{dy}{dy})^2} dy = \sqrt{(2y)^2 + 1^2} dy = \sqrt{4y^2 + 1} dy\).
Vậy tích phân đường trở thành:
\(\int_C y ds = \int_0^1 y \sqrt{4y^2 + 1} dy\).
Đặt \(u = 4y^2 + 1\), suy ra \(du = 8y dy\), hay \(y dy = \frac{1}{8} du\).
Khi \(y = 0\), \(u = 1\). Khi \(y = 1\), \(u = 5\).
Do đó, tích phân trở thành:
\(\int_1^5 \frac{1}{8} \sqrt{u} du = \frac{1}{8} \int_1^5 u^{1/2} du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^5 = \frac{1}{12} (5^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{12} (5\sqrt{5} - 1)\).
Vậy đáp án đúng là B. \(\frac{1}{{12}}(5\sqrt 5 - 1)\).
