Tính công làm dịch chuyển một chất điểm từ \(A(0,1)\) đến \(B(1,0)\) của lực \(\vec F = \left[ {8{x^3} - 2y\ln (1 + {x^2}{y^2})} \right]\vec i + \left[ {5{y^4} - 2x\ln (1 + {x^2}{y^2})} \right]\vec j\)

Ta có công của lực \(\vec F\) khi dịch chuyển chất điểm từ A đến B là:\n\(A = \int_A^B \vec F \cdot d\vec r = \int_A^B (8x^3 - 2y\ln(1 + x^2y^2))dx + (5y^4 - 2x\ln(1 + x^2y^2))dy\) Nhận thấy:\n\(\frac{\partial (8x^3 - 2y\ln(1 + x^2y^2))}{\partial y} = -2\ln(1 + x^2y^2) - \frac{2yx^2 \cdot 2y}{1 + x^2y^2} = -2\ln(1 + x^2y^2) - \frac{4x^2y^2}{1 + x^2y^2}\) \(\frac{\partial (5y^4 - 2x\ln(1 + x^2y^2))}{\partial x} = -2\ln(1 + x^2y^2) - \frac{2xy^2 \cdot 2x}{1 + x^2y^2} = -2\ln(1 + x^2y^2) - \frac{4x^2y^2}{1 + x^2y^2}\) Vì \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) nên tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, do đó ta có thể chọn đường đi đơn giản nhất là đường thẳng nối A và B. Tuy nhiên, ta cũng có thể nhận thấy rằng biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm số \(f(x, y) = 2x^4 + y^5 - 2xy \ln(1 + x^2y^2) + 2\arctan(xy)\) Do đó, công A được tính bằng:\n\(A = f(1, 0) - f(0, 1) = (2(1)^4 + (0)^5 - 2(1)(0)\ln(1 + (1)^2(0)^2) + 2\arctan((1)(0))) - (2(0)^4 + (1)^5 - 2(0)(1)\ln(1 + (0)^2(1)^2) + 2\arctan((0)(1)))\) \(A = (2 + 0 - 0 + 0) - (0 + 1 - 0 + 0) = 2 - 1 = 1\) Vậy, công của lực là 1 (đơn vị công).