Tính với S là mặt z = \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} ,z \le 1,x \ge 0\)

Câu hỏi này liên quan đến việc tính tích phân mặt trên một mặt S giới hạn bởi hai mặt cho trước. Để giải quyết bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định miền tích phân: Miền D được giới hạn bởi z = \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \) và z = 1. Giao tuyến của hai mặt này là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \) = 1, tức là x^2 + y^2 = 1. Vậy miền D là hình tròn đơn vị trên mặt phẳng xy.

2. Tham số hóa mặt S: Mặt S là phần của mặt z = \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \) nằm trong miền D. Ta có thể tham số hóa S bằng tọa độ cực:
\(r(x,y) = (x, y, \sqrt{x^2 + y^2}) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)\)
với 0 ≤ r ≤ 1 và 0 ≤ \(\theta\) ≤ 2\(\pi\).

3. Tính pháp tuyến đơn vị: Pháp tuyến của mặt S là:
\(\vec{n} = \frac{{\partial r}}{{\partial r}} \times \frac{{\partial r}}{{\partial \theta}} = (\cos\theta, \sin\theta, 1) \times (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0) = (-r\cos\theta, -r\sin\theta, r)\)

Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp tích phân cụ thể cần tính trên mặt S. Vì vậy, không thể đưa ra một đáp án cụ thể từ các lựa chọn A, B, C, D. Các đáp án này có thể là kết quả của việc tính một tích phân mặt nào đó trên S, nhưng thiếu thông tin để xác định.

Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Để tìm m, ta cần thông tin về một biểu thức hoặc một phương trình liên quan đến m và mặt S. Tuy nhiên, câu hỏi hiện tại không cung cấp đủ thông tin hoặc ngữ cảnh để xác định giá trị của m. Câu hỏi chỉ cho mặt phẳng S và điều kiện x, y, z >= 0, nhưng không có yêu cầu hoặc biểu thức nào liên quan đến m. Do đó, không thể xác định đáp án đúng dựa trên thông tin đã cho.

Câu hỏi này không cung cấp đủ thông tin để tính toán giá trị cụ thể. Chúng ta cần biết tích phân nào cần tính trên mặt S (ví dụ, tích phân của một hàm số nào đó trên S). Nếu không có thông tin này, không thể xác định đáp án đúng. Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Bài toán yêu cầu tính tích phân mặt loại 1 trên mặt nón. Ta có z = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), suy ra \(z_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) và \(z_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) . Vậy \(\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).

Miền D là hình tròn \(1 \le x^2 + y^2 \le 4\). Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(1 \le r \le 2\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\). Vậy tích phân là:

\(I = \iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, \sqrt{x^2 + y^2}) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA = \iint_D (x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 r dr d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r^3 dr = \sqrt{2} (2\pi) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 2\pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \sqrt{2} \frac{15}{4} = \frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\)

Đề bài có lẽ đã có sự nhầm lẫn khi cho các đáp án, không có đáp án nào đúng với kết quả tính toán là \(\frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\). Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) thì tích phân sẽ là:

\(I = \iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D (x^2 + y^2 + z^2) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA = \iint_D (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 r dr d\theta = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r^3 dr = 2\sqrt{2} (2\pi) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 4\pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 4\pi \sqrt{2} \frac{15}{4} = 15\sqrt{2}\pi\)

Trong trường hợp đề bài cho \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 \), không có đáp án nào đúng.