Tính với S là nửa mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,z \ge 0\) hướng ra ngoài mặt cầu.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về tích phân mặt loại 2 và cách tính tích phân trên một mặt nón.
Để giải quyết bài toán này, ta cần tham số hóa mặt nón \(S\) và tính tích phân đã cho.
Phương trình mặt nón là \(z = -\sqrt{x^2 + y^2}\), \(-1 \le z \le 0\).
Đặt \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), với \(0 \le r \le 1\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(z = -r\).
Vậy, tham số hóa của mặt nón là \(\mathbf{r}(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, -r)\).
Ta tính các vector tiếp tuyến:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = (\cos\theta, \sin\theta, -1)\)
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)\)
Tính tích có hướng:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos\theta & \sin\theta & -1 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (r\cos\theta, r\sin\theta, r(\cos^2\theta + \sin^2\theta)) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)\)
Vì ta nhìn từ chiều dương trục Oz, nên vector pháp tuyến hướng lên, tức là thành phần z dương. Do đó, ta chọn vector pháp tuyến là \((r\cos\theta, r\sin\theta, r)\).
Khi đó, tích phân trở thành:
\(I = \iint_S (xydx \wedge dy + yzdy \wedge dz + zxdz \wedge dx) = \iint_D (r\cos\theta r\sin\theta r + r\sin\theta (-r) r + (-r)r\cos\theta (-r)) drd\theta\)
\(I = \iint_D (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) drd\theta\)
\(I = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) dr d\theta\)
\(I = \int_0^1 r^3 dr \int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta\)
\(\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin(2\theta) d\theta - \int_0^{2\pi} \sin\theta d\theta + \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta\)
\(= \frac{1}{2} [-\frac{1}{2}\cos(2\theta)]_0^{2\pi} + [\cos\theta]_0^{2\pi} + [\sin\theta]_0^{2\pi} = 0 + 0 + 0 = 0\)
Vậy \(I = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0\)
Vậy \(a = 0, b = 0\) suy ra \(2a + b = 0\).

Để tính tích phân mặt loại 1 trên mặt ngoài của tứ diện OABC, ta cần tính tích phân trên từng mặt của tứ diện và cộng lại. Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp hàm số cần tích phân trên mặt S, do đó không thể tính được giá trị cụ thể. Vì vậy, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Câu hỏi này liên quan đến việc tính tích phân mặt trên một miền được xác định bởi các phương trình cho trước. Để giải quyết câu hỏi này, cần phải thiết lập được tích phân mặt tương ứng và tính toán nó. Tuy nhiên, câu hỏi hiện tại chỉ đưa ra các khẳng định về mối quan hệ giữa các biến \(a\) và \(b\) mà không cung cấp thông tin về tích phân cần tính hoặc cách xác định \(a\) và \(b\). Do đó, không thể xác định đáp án đúng dựa trên thông tin đã cho. Cần có thêm thông tin về biểu thức tích phân và cách tính \(a\) và \(b\) để có thể giải quyết bài toán này.

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính tích phân mặt của hàm trên mặt S. Mặt S được xác định bởi giao tuyến của paraboloid \(z = x^2 + y^2\) và mặt phẳng \(x + z = 2\).

Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt.
Thay \(z = x^2 + y^2\) vào \(x + z = 2\), ta được \(x + x^2 + y^2 = 2\), hay \(x^2 + x + y^2 = 2\).
Hoàn thành bình phương, ta có \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\).
Đây là hình tròn tâm \((-\frac{1}{2}, 0)\) và bán kính \(r = \frac{3}{2}\) trên mặt phẳng xy.

Bước 2: Tham số hóa mặt S.
Ta có thể tham số hóa mặt S bằng \(r(x, y) = (x, y, x^2 + y^2)\).

Bước 3: Tính pháp tuyến của mặt S.
\(r_x = (1, 0, 2x)\)
\(r_y = (0, 1, 2y)\)
\(N = r_x \times r_y = (-2x, -2y, 1)\)

Bước 4: Tính tích phân mặt.
Tích phân mặt có dạng \(\iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, x^2 + y^2) ||N|| dA\), với D là miền hình tròn \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \le \frac{9}{4}\).

Trong bài toán này, ta cần tính tích phân \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS\).
Thay \(z = x^2 + y^2\), ta có \(\iint_S (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) dS = \iint_S 2(x^2 + y^2) dS = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} dA\).

Để đơn giản, ta đổi sang tọa độ cực: \(x = r\cos(\theta) - \frac{1}{2}\), \(y = r\sin(\theta)\), với \(0 \le r \le \frac{3}{2}\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(x^2 + y^2 = (r\cos(\theta) - \frac{1}{2})^2 + (r\sin(\theta))^2 = r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}\).

Vậy tích phân trở thành:
\(\iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) + 1} r dr d\theta = \iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4r^2 - 4r\cos(\theta) + 2} r dr d\theta\).

Bài toán có vẻ phức tạp hơn dự kiến, và việc tính toán trực tiếp tích phân này là rất khó khăn. Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS = a\pi/b\), ta có thể ước lượng giá trị của tích phân để so sánh với các đáp án. Dù vậy, việc tính chính xác là cần thiết để tìm a và b rồi tính a-b.

Tuy nhiên, không có đủ thông tin về biểu thức cụ thể của kết quả tích phân. Do đó, không thể đưa ra đáp án chính xác mà không có thêm thông tin hoặc công cụ tính toán.

Vì không thể giải một cách chính xác với các thông tin đã cho, ta không thể xác định đáp án đúng.