Tính với S là nửa mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,z \ge 0\) hướng ra ngoài mặt cầu.
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân mặt của trường vector trên nửa mặt cầu. Tuy nhiên, đề bài không cung cấp trường vector cụ thể. Do đó, không thể tính toán và đưa ra một đáp án chính xác. Các đáp án A, B, C, D đều là các giá trị số học, nhưng không có cơ sở để xác định đáp án nào là đúng nếu không có thông tin về trường vector.
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về tích phân mặt loại 2 và cách tính tích phân trên một mặt nón.
Để giải quyết bài toán này, ta cần tham số hóa mặt nón \(S\) và tính tích phân đã cho.
Phương trình mặt nón là \(z = -\sqrt{x^2 + y^2}\), \(-1 \le z \le 0\).
Đặt \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), với \(0 \le r \le 1\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(z = -r\).
Vậy, tham số hóa của mặt nón là \(\mathbf{r}(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, -r)\).
Ta tính các vector tiếp tuyến:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = (\cos\theta, \sin\theta, -1)\)
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)\)
Tính tích có hướng:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos\theta & \sin\theta & -1 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (r\cos\theta, r\sin\theta, r(\cos^2\theta + \sin^2\theta)) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)\)
Vì ta nhìn từ chiều dương trục Oz, nên vector pháp tuyến hướng lên, tức là thành phần z dương. Do đó, ta chọn vector pháp tuyến là \((r\cos\theta, r\sin\theta, r)\).
Khi đó, tích phân trở thành:
\(I = \iint_S (xydx \wedge dy + yzdy \wedge dz + zxdz \wedge dx) = \iint_D (r\cos\theta r\sin\theta r + r\sin\theta (-r) r + (-r)r\cos\theta (-r)) drd\theta\)
\(I = \iint_D (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) drd\theta\)
\(I = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) dr d\theta\)
\(I = \int_0^1 r^3 dr \int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta\)
\(\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin(2\theta) d\theta - \int_0^{2\pi} \sin\theta d\theta + \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta\)
\(= \frac{1}{2} [-\frac{1}{2}\cos(2\theta)]_0^{2\pi} + [\cos\theta]_0^{2\pi} + [\sin\theta]_0^{2\pi} = 0 + 0 + 0 = 0\)
Vậy \(I = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0\)
Vậy \(a = 0, b = 0\) suy ra \(2a + b = 0\).
Để giải quyết bài toán này, ta cần tham số hóa mặt nón \(S\) và tính tích phân đã cho.
Phương trình mặt nón là \(z = -\sqrt{x^2 + y^2}\), \(-1 \le z \le 0\).
Đặt \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), với \(0 \le r \le 1\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(z = -r\).
Vậy, tham số hóa của mặt nón là \(\mathbf{r}(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, -r)\).
Ta tính các vector tiếp tuyến:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = (\cos\theta, \sin\theta, -1)\)
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)\)
Tính tích có hướng:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos\theta & \sin\theta & -1 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (r\cos\theta, r\sin\theta, r(\cos^2\theta + \sin^2\theta)) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)\)
Vì ta nhìn từ chiều dương trục Oz, nên vector pháp tuyến hướng lên, tức là thành phần z dương. Do đó, ta chọn vector pháp tuyến là \((r\cos\theta, r\sin\theta, r)\).
Khi đó, tích phân trở thành:
\(I = \iint_S (xydx \wedge dy + yzdy \wedge dz + zxdz \wedge dx) = \iint_D (r\cos\theta r\sin\theta r + r\sin\theta (-r) r + (-r)r\cos\theta (-r)) drd\theta\)
\(I = \iint_D (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) drd\theta\)
\(I = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) dr d\theta\)
\(I = \int_0^1 r^3 dr \int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta\)
\(\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin(2\theta) d\theta - \int_0^{2\pi} \sin\theta d\theta + \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta\)
\(= \frac{1}{2} [-\frac{1}{2}\cos(2\theta)]_0^{2\pi} + [\cos\theta]_0^{2\pi} + [\sin\theta]_0^{2\pi} = 0 + 0 + 0 = 0\)
Vậy \(I = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0\)
Vậy \(a = 0, b = 0\) suy ra \(2a + b = 0\).
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Để tính tích phân mặt loại 1 trên mặt ngoài của tứ diện OABC, ta cần tính tích phân trên từng mặt của tứ diện và cộng lại. Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp hàm số cần tích phân trên mặt S, do đó không thể tính được giá trị cụ thể. Vì vậy, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Câu hỏi này liên quan đến việc tính tích phân mặt trên một miền được xác định bởi các phương trình cho trước. Để giải quyết câu hỏi này, cần phải thiết lập được tích phân mặt tương ứng và tính toán nó. Tuy nhiên, câu hỏi hiện tại chỉ đưa ra các khẳng định về mối quan hệ giữa các biến \(a\) và \(b\) mà không cung cấp thông tin về tích phân cần tính hoặc cách xác định \(a\) và \(b\). Do đó, không thể xác định đáp án đúng dựa trên thông tin đã cho. Cần có thêm thông tin về biểu thức tích phân và cách tính \(a\) và \(b\) để có thể giải quyết bài toán này.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Để giải quyết bài toán này, ta cần tính tích phân mặt của hàm trên mặt S. Mặt S được xác định bởi giao tuyến của paraboloid \(z = x^2 + y^2\) và mặt phẳng \(x + z = 2\).
Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt.
Thay \(z = x^2 + y^2\) vào \(x + z = 2\), ta được \(x + x^2 + y^2 = 2\), hay \(x^2 + x + y^2 = 2\).
Hoàn thành bình phương, ta có \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\).
Đây là hình tròn tâm \((-\frac{1}{2}, 0)\) và bán kính \(r = \frac{3}{2}\) trên mặt phẳng xy.
Bước 2: Tham số hóa mặt S.
Ta có thể tham số hóa mặt S bằng \(r(x, y) = (x, y, x^2 + y^2)\).
Bước 3: Tính pháp tuyến của mặt S.
\(r_x = (1, 0, 2x)\)
\(r_y = (0, 1, 2y)\)
\(N = r_x \times r_y = (-2x, -2y, 1)\)
Bước 4: Tính tích phân mặt.
Tích phân mặt có dạng \(\iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, x^2 + y^2) ||N|| dA\), với D là miền hình tròn \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \le \frac{9}{4}\).
Trong bài toán này, ta cần tính tích phân \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS\).
Thay \(z = x^2 + y^2\), ta có \(\iint_S (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) dS = \iint_S 2(x^2 + y^2) dS = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} dA\).
Để đơn giản, ta đổi sang tọa độ cực: \(x = r\cos(\theta) - \frac{1}{2}\), \(y = r\sin(\theta)\), với \(0 \le r \le \frac{3}{2}\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(x^2 + y^2 = (r\cos(\theta) - \frac{1}{2})^2 + (r\sin(\theta))^2 = r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}\).
Vậy tích phân trở thành:
\(\iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) + 1} r dr d\theta = \iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4r^2 - 4r\cos(\theta) + 2} r dr d\theta\).
Bài toán có vẻ phức tạp hơn dự kiến, và việc tính toán trực tiếp tích phân này là rất khó khăn. Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS = a\pi/b\), ta có thể ước lượng giá trị của tích phân để so sánh với các đáp án. Dù vậy, việc tính chính xác là cần thiết để tìm a và b rồi tính a-b.
Tuy nhiên, không có đủ thông tin về biểu thức cụ thể của kết quả tích phân. Do đó, không thể đưa ra đáp án chính xác mà không có thêm thông tin hoặc công cụ tính toán.
Vì không thể giải một cách chính xác với các thông tin đã cho, ta không thể xác định đáp án đúng.
Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt.
Thay \(z = x^2 + y^2\) vào \(x + z = 2\), ta được \(x + x^2 + y^2 = 2\), hay \(x^2 + x + y^2 = 2\).
Hoàn thành bình phương, ta có \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\).
Đây là hình tròn tâm \((-\frac{1}{2}, 0)\) và bán kính \(r = \frac{3}{2}\) trên mặt phẳng xy.
Bước 2: Tham số hóa mặt S.
Ta có thể tham số hóa mặt S bằng \(r(x, y) = (x, y, x^2 + y^2)\).
Bước 3: Tính pháp tuyến của mặt S.
\(r_x = (1, 0, 2x)\)
\(r_y = (0, 1, 2y)\)
\(N = r_x \times r_y = (-2x, -2y, 1)\)
Bước 4: Tính tích phân mặt.
Tích phân mặt có dạng \(\iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, x^2 + y^2) ||N|| dA\), với D là miền hình tròn \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \le \frac{9}{4}\).
Trong bài toán này, ta cần tính tích phân \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS\).
Thay \(z = x^2 + y^2\), ta có \(\iint_S (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) dS = \iint_S 2(x^2 + y^2) dS = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} dA\).
Để đơn giản, ta đổi sang tọa độ cực: \(x = r\cos(\theta) - \frac{1}{2}\), \(y = r\sin(\theta)\), với \(0 \le r \le \frac{3}{2}\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(x^2 + y^2 = (r\cos(\theta) - \frac{1}{2})^2 + (r\sin(\theta))^2 = r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}\).
Vậy tích phân trở thành:
\(\iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) + 1} r dr d\theta = \iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4r^2 - 4r\cos(\theta) + 2} r dr d\theta\).
Bài toán có vẻ phức tạp hơn dự kiến, và việc tính toán trực tiếp tích phân này là rất khó khăn. Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS = a\pi/b\), ta có thể ước lượng giá trị của tích phân để so sánh với các đáp án. Dù vậy, việc tính chính xác là cần thiết để tìm a và b rồi tính a-b.
Tuy nhiên, không có đủ thông tin về biểu thức cụ thể của kết quả tích phân. Do đó, không thể đưa ra đáp án chính xác mà không có thêm thông tin hoặc công cụ tính toán.
Vì không thể giải một cách chính xác với các thông tin đã cho, ta không thể xác định đáp án đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy
89 tài liệu310 lượt tải

Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin
125 tài liệu441 lượt tải

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông
104 tài liệu687 lượt tải

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán
103 tài liệu589 lượt tải

Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp
377 tài liệu1030 lượt tải

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
99 tài liệu1062 lượt tải
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.
77.000 đ/ tháng