Biết với \(S\) là mặt trong của parabol \(z = {x^2} + {y^2}\) nằm dưới mặt \(x + z = 2\). Tính \(a - b\)

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính tích phân mặt của hàm trên mặt S. Mặt S được xác định bởi giao tuyến của paraboloid \(z = x^2 + y^2\) và mặt phẳng \(x + z = 2\). Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt. Thay \(z = x^2 + y^2\) vào \(x + z = 2\), ta được \(x + x^2 + y^2 = 2\), hay \(x^2 + x + y^2 = 2\). Hoàn thành bình phương, ta có \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). Đây là hình tròn tâm \((-\frac{1}{2}, 0)\) và bán kính \(r = \frac{3}{2}\) trên mặt phẳng xy. Bước 2: Tham số hóa mặt S. Ta có thể tham số hóa mặt S bằng \(r(x, y) = (x, y, x^2 + y^2)\). Bước 3: Tính pháp tuyến của mặt S. \(r_x = (1, 0, 2x)\) \(r_y = (0, 1, 2y)\) \(N = r_x \times r_y = (-2x, -2y, 1)\) Bước 4: Tính tích phân mặt. Tích phân mặt có dạng \(\iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, x^2 + y^2) ||N|| dA\), với D là miền hình tròn \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \le \frac{9}{4}\). Trong bài toán này, ta cần tính tích phân \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS\). Thay \(z = x^2 + y^2\), ta có \(\iint_S (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) dS = \iint_S 2(x^2 + y^2) dS = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} dA\). Để đơn giản, ta đổi sang tọa độ cực: \(x = r\cos(\theta) - \frac{1}{2}\), \(y = r\sin(\theta)\), với \(0 \le r \le \frac{3}{2}\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\). Khi đó, \(x^2 + y^2 = (r\cos(\theta) - \frac{1}{2})^2 + (r\sin(\theta))^2 = r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}\). Vậy tích phân trở thành: \(\iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) + 1} r dr d\theta = \iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4r^2 - 4r\cos(\theta) + 2} r dr d\theta\). Bài toán có vẻ phức tạp hơn dự kiến, và việc tính toán trực tiếp tích phân này là rất khó khăn. Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS = a\pi/b\), ta có thể ước lượng giá trị của tích phân để so sánh với các đáp án. Dù vậy, việc tính chính xác là cần thiết để tìm a và b rồi tính a-b. Tuy nhiên, không có đủ thông tin về biểu thức cụ thể của kết quả tích phân. Do đó, không thể đưa ra đáp án chính xác mà không có thêm thông tin hoặc công cụ tính toán. Vì không thể giải một cách chính xác với các thông tin đã cho, ta không thể xác định đáp án đúng.