JavaScript is required

Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {grad} z\) (đơn vị: radian) của các trường vô hướng sau \({z_1} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,{z_2} = x - 3y + \sqrt {3xy} \) tại \(M(3,4)\) (Chọn đáp án gần đúng nhất)

A.

2

B.

1

C.

3

D.

4

Trả lời:

Đáp án đúng: A


Tính đạo hàm riêng của z1 và z2 theo x và y. \(\frac{{\partial {z_1}}}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\) \(\frac{{\partial {z_1}}}{{\partial y}} = \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\) \(\overrightarrow {grad} {z_1} = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}, rac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\) Tại M(3,4): \(\overrightarrow {grad} {z_1}(M) = \left( {\frac{3}{5}, rac{4}{5}} \right)\) \(\frac{{\partial {z_2}}}{{\partial x}} = 1 + \frac{{\sqrt 3 y}}{{2\sqrt x y}} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{x}{y}} }}\) \(\frac{{\partial {z_2}}}{{\partial y}} = - 3 + \frac{{\sqrt 3 x}}{{2\sqrt {xy} }} = - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{y}{x}} }}\) \(\overrightarrow {grad} {z_2} = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{x}{y}} }}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{y}{x}} }}} \right)\) Tại M(3,4): \(\overrightarrow {grad} {z_2}(M) = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{3}{4}} }}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{4}{3}} }}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\frac{2}{{\sqrt 3 }}}}} \right) = (2, - 2)\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vector gradient. Ta có: \(cos\alpha = \frac{{\overrightarrow {grad} {z_1}.\overrightarrow {grad} {z_2} }}{{\left| {\overrightarrow {grad} {z_1}} \right|\left| {\overrightarrow {grad} {z_2}} \right|}} = \frac{{\frac{3}{5}.2 + \frac{4}{5}.( - 2)}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{ - \frac{2}{5}}}{{\sqrt 1 \sqrt 8 }} = \frac{{ - 2}}{{5.2\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\) \(\alpha = arccos\left( { - \frac{1}{{5\sqrt 2 }}} \right) \approx 1.72(rad)\) Đáp án gần đúng nhất là B. 1 (thực tế là 1.72, đề bài không có đáp án đúng)

Câu hỏi liên quan