Tính diện tích mặt cong \(S\) với \(S\) là phần mặt nón \(y = \sqrt {{x^2} + {z^2}} \) với điều kiện \(1 \le y \le 2,z \ge 0\)

Tính đạo hàm riêng của z1 và z2 theo x và y.
\(\frac{{\partial {z_1}}}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\)
\(\frac{{\partial {z_1}}}{{\partial y}} = \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\)
\(\overrightarrow {grad} {z_1} = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }},rac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)
Tại M(3,4): \(\overrightarrow {grad} {z_1}(M) = \left( {\frac{3}{5},rac{4}{5}} \right)\)

\(\frac{{\partial {z_2}}}{{\partial x}} = 1 + \frac{{\sqrt 3 y}}{{2\sqrt x y}} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{x}{y}} }}\)
\(\frac{{\partial {z_2}}}{{\partial y}} = - 3 + \frac{{\sqrt 3 x}}{{2\sqrt {xy} }} = - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{y}{x}} }}\)
\(\overrightarrow {grad} {z_2} = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{x}{y}} }}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{y}{x}} }}} \right)\)
Tại M(3,4): \(\overrightarrow {grad} {z_2}(M) = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{3}{4}} }}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{4}{3}} }}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\frac{2}{{\sqrt 3 }}}}} \right) = (2, - 2)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vector gradient. Ta có:
\(cos\alpha = \frac{{\overrightarrow {grad} {z_1}.\overrightarrow {grad} {z_2} }}{{\left| {\overrightarrow {grad} {z_1}} \right|\left| {\overrightarrow {grad} {z_2}} \right|}} = \frac{{\frac{3}{5}.2 + \frac{4}{5}.( - 2)}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{ - \frac{2}{5}}}{{\sqrt 1 \sqrt 8 }} = \frac{{ - 2}}{{5.2\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\)
\(\alpha = arccos\left( { - \frac{1}{{5\sqrt 2 }}} \right) \approx 1.72(rad)\)
Đáp án gần đúng nhất là B. 1 (thực tế là 1.72, đề bài không có đáp án đúng)

Để tìm hướng mà sự biến thiên của hàm \(u = xsinz - ycosz\) tại gốc tọa độ là lớn nhất, ta cần tìm gradient của hàm u tại gốc tọa độ. Gradient của hàm u là một vector chỉ hướng của sự tăng nhanh nhất của hàm số.

Ta có:

\(\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)\)

Tính các đạo hàm riêng:

\(\frac{\partial u}{\partial x} = sinz\)
\(\frac{\partial u}{\partial y} = -cosz\)
\(\frac{\partial u}{\partial z} = xcosz + ysinz\)

Vậy:

\(\nabla u = (sinz, -cosz, xcosz + ysinz)\)

Tại gốc tọa độ (0, 0, 0), ta có:

\(\nabla u(0, 0, 0) = (sin0, -cos0, 0cos0 + 0sin0) = (0, -1, 0)\)

Vậy, hướng mà sự biến thiên của hàm u tại gốc tọa độ là lớn nhất là \(\vec l = (0, -1, 0)\).

Do đó, đáp án đúng là B.

Ta có \(\vec F = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left[ {(2{x^2}yz + yz)\vec i + (2{y^2}xz + xz)\vec j + (2{z^2}yx + xy)\vec k} \right]\). Giả sử hàm thế vị có dạng u(x,y,z). Khi đó:
\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{x^2}yz + yz)\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{y^2}xz + xz)\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{z^2}yx + xy)\)
Từ \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{x^2}yz + yz)\) suy ra:
\(u = \int {{e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{x^2}yz + yz)dx} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C(y,z)\)
Khi đó, \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{y^2}xz + xz) + \frac{{\partial C}}{{\partial y}}(y,z)\)
Suy ra \(\frac{{\partial C}}{{\partial y}}(y,z) = 0\) hay C(y,z) = C(z). Do đó \(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C(z)\)
Tiếp tục, \(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}(2{z^2}yx + xy) + C'(z)\)
Suy ra C'(z) = 0 hay C(z) = C (hằng số).
Vậy hàm thế vị là \(u = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}xyz + C\)