Biết , \(S\) là mặt ngoài của miền giới hạn bởi \(y = 0,y = \sqrt {1 - {z^2}} ,x = 0,x = 2\) chọn khẳng định đúng
Đáp án đúng: A
Câu hỏi liên quan
Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt.
Thay \(z = x^2 + y^2\) vào \(x + z = 2\), ta được \(x + x^2 + y^2 = 2\), hay \(x^2 + x + y^2 = 2\).
Hoàn thành bình phương, ta có \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\).
Đây là hình tròn tâm \((-\frac{1}{2}, 0)\) và bán kính \(r = \frac{3}{2}\) trên mặt phẳng xy.
Bước 2: Tham số hóa mặt S.
Ta có thể tham số hóa mặt S bằng \(r(x, y) = (x, y, x^2 + y^2)\).
Bước 3: Tính pháp tuyến của mặt S.
\(r_x = (1, 0, 2x)\)
\(r_y = (0, 1, 2y)\)
\(N = r_x \times r_y = (-2x, -2y, 1)\)
Bước 4: Tính tích phân mặt.
Tích phân mặt có dạng \(\iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, x^2 + y^2) ||N|| dA\), với D là miền hình tròn \((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \le \frac{9}{4}\).
Trong bài toán này, ta cần tính tích phân \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS\).
Thay \(z = x^2 + y^2\), ta có \(\iint_S (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) dS = \iint_S 2(x^2 + y^2) dS = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} dA\).
Để đơn giản, ta đổi sang tọa độ cực: \(x = r\cos(\theta) - \frac{1}{2}\), \(y = r\sin(\theta)\), với \(0 \le r \le \frac{3}{2}\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(x^2 + y^2 = (r\cos(\theta) - \frac{1}{2})^2 + (r\sin(\theta))^2 = r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}\).
Vậy tích phân trở thành:
\(\iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) + 1} r dr d\theta = \iint_D 2(r^2 - r\cos(\theta) + \frac{1}{4}) \sqrt{4r^2 - 4r\cos(\theta) + 2} r dr d\theta\).
Bài toán có vẻ phức tạp hơn dự kiến, và việc tính toán trực tiếp tích phân này là rất khó khăn. Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(\iint_S (x^2 + y^2 + z) dS = a\pi/b\), ta có thể ước lượng giá trị của tích phân để so sánh với các đáp án. Dù vậy, việc tính chính xác là cần thiết để tìm a và b rồi tính a-b.
Tuy nhiên, không có đủ thông tin về biểu thức cụ thể của kết quả tích phân. Do đó, không thể đưa ra đáp án chính xác mà không có thêm thông tin hoặc công cụ tính toán.
Vì không thể giải một cách chính xác với các thông tin đã cho, ta không thể xác định đáp án đúng.
Tham số hóa mặt cong \(S\):
\(\overrightarrow{r}(y,\varphi ) = (y\cos \varphi ,y,y\sin \varphi )\), với \(1 \le y \le 2, 0 \le \varphi \le \pi \)
Tính các đạo hàm riêng:
\(\overrightarrow{{{r'}_y}} = (\cos \varphi ,1,\sin \varphi )\)
\(\overrightarrow{{{r'}_\varphi }} = ( - y\sin \varphi ,0,y\cos \varphi )\)
Tính tích có hướng:
\(\overrightarrow{{{r'}_y}} \times \overrightarrow{{{r'}_\varphi }} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow{i}}&{\overrightarrow{j}}&{\overrightarrow{k}}\\ {\cos \varphi }&1&{\sin \varphi }\\{ - y\sin \varphi }&0&{y\cos \varphi }\end{array}} \right| = (y\cos \varphi , - y,y\sin \varphi )\)
Tính độ dài của tích có hướng:
\(\|\overrightarrow{{{r'}_y}} \times \overrightarrow{{{r'}_\varphi }}\| = \sqrt {{{(y\cos \varphi )}^2} + {{( - y)}^2} + {{(y\sin \varphi )}^2}} = \sqrt {{y^2}{{\cos }^2}\varphi + {y^2} + {y^2}{{\sin }^2}\varphi } = \sqrt {{y^2}({{\cos }^2}\varphi + 1 + {{\sin }^2}\varphi )} = \sqrt {2{y^2}} = y\sqrt 2 \)
Tính diện tích mặt cong:
\(S = \mathop {\int }\limits_0^\pi \mathop {\int }\limits_1^2 {\left| {\overrightarrow{{{r'}_y}} \times \overrightarrow{{{r'}_\varphi }}} \right|dyd\varphi } = \mathop {\int }\limits_0^\pi \mathop {\int }\limits_1^2 {y\sqrt 2 dyd\varphi } = \sqrt 2 \mathop {\int }\limits_0^\pi d \varphi \mathop {\int }\limits_1^2 {ydy} \)
\(= \sqrt 2 \left. {\varphi } \right|_0^\pi .\left. {\frac{{{y^2}}}{2}} \right|_1^2 = \sqrt 2 (\pi - 0).\left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2}} \right) = \sqrt 2 \pi .\left( {2 - \frac{1}{2}} \right) = \sqrt 2 \pi .\frac{3}{2} = \frac{{3\sqrt 2 \pi }}{2}\)
\(\frac{{\partial {z_1}}}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\)
\(\frac{{\partial {z_1}}}{{\partial y}} = \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\)
\(\overrightarrow {grad} {z_1} = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }},rac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)
Tại M(3,4): \(\overrightarrow {grad} {z_1}(M) = \left( {\frac{3}{5},rac{4}{5}} \right)\)
\(\frac{{\partial {z_2}}}{{\partial x}} = 1 + \frac{{\sqrt 3 y}}{{2\sqrt x y}} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{x}{y}} }}\)
\(\frac{{\partial {z_2}}}{{\partial y}} = - 3 + \frac{{\sqrt 3 x}}{{2\sqrt {xy} }} = - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{y}{x}} }}\)
\(\overrightarrow {grad} {z_2} = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{x}{y}} }}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{y}{x}} }}} \right)\)
Tại M(3,4): \(\overrightarrow {grad} {z_2}(M) = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{3}{4}} }}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt {\frac{4}{3}} }}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}, - 3 + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\frac{2}{{\sqrt 3 }}}}} \right) = (2, - 2)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vector gradient. Ta có:
\(cos\alpha = \frac{{\overrightarrow {grad} {z_1}.\overrightarrow {grad} {z_2} }}{{\left| {\overrightarrow {grad} {z_1}} \right|\left| {\overrightarrow {grad} {z_2}} \right|}} = \frac{{\frac{3}{5}.2 + \frac{4}{5}.( - 2)}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{ - \frac{2}{5}}}{{\sqrt 1 \sqrt 8 }} = \frac{{ - 2}}{{5.2\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\)
\(\alpha = arccos\left( { - \frac{1}{{5\sqrt 2 }}} \right) \approx 1.72(rad)\)
Đáp án gần đúng nhất là B. 1 (thực tế là 1.72, đề bài không có đáp án đúng)

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy

Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán

Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.