Tính với mặt S: \(4{x^2} + 9{y^2} + {z^2} = 1\), hướng ra ngoài.

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý Gauss (hay còn gọi là định lý phân kỳ) để chuyển tích phân mặt thành tích phân thể tích.

Định lý Gauss:

\(\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV\)

Trong đó:

* \(\mathbf{F} = (x^2 + yz, y^2 + xz, z^2 + xy)\) là trường vector.
* S là biên của miền V.
* V là miền \(x + y + z \le 1, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\).
* \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) là độ phân kỳ của trường vector \(\mathbf{F}\).

Tính độ phân kỳ:

\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2 + xz) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2 + xy) = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)\)

Tính tích phân thể tích:

\(\iiint_V 2(x + y + z) dV\)

Miền V là một tứ diện trong góc phần tám thứ nhất, giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1. Ta có thể tính tích phân này bằng cách sử dụng tích phân lặp:

\(\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 2(x + y + z) dz dy dx\)

Tính tích phân trong cùng theo z:

\(\int_0^{1-x-y} 2(x + y + z) dz = 2(x + y)z + z^2 \Big|_0^{1-x-y} = 2(x + y)(1 - x - y) + (1 - x - y)^2 = (1 - x - y)(2x + 2y + 1 - x - y) = (1 - x - y)(x + y + 1)\)

Tính tích phân theo y:

\(\int_0^{1-x} (1 - x - y)(x + y + 1) dy = \int_0^{1-x} (1 - x - y)(1 + x + y) dy = \int_0^{1-x} (1 + x - x^2 - 2xy - y^2) dy\)

\(= (1 + x - x^2)y - xy^2 - \frac{y^3}{3} \Big|_0^{1-x} = (1 + x - x^2)(1 - x) - x(1 - x)^2 - \frac{(1 - x)^3}{3} = 1 - x + x - x^2 - x^2 + x^3 - x(1 - 2x + x^2) - \frac{1 - 3x + 3x^2 - x^3}{3} = 1 - 2x^2 + x^3 - x + 2x^2 - x^3 - \frac{1}{3} + x - x^2 + \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3} - x^2 + \frac{x^3}{3}\)

Tính tích phân theo x:

\(\int_0^1 (\frac{2}{3} - x^2 + \frac{x^3}{3}) dx = \frac{2}{3}x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{12} \Big|_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 1}{12} = \frac{5}{12}\)

Vậy \(\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \frac{5}{12} = \frac{a}{b}\). Suy ra a = 5, b = 12. Do đó a + b = 5 + 12 = 17. Không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân mặt của trường vector trên nửa mặt cầu. Tuy nhiên, đề bài không cung cấp trường vector cụ thể. Do đó, không thể tính toán và đưa ra một đáp án chính xác. Các đáp án A, B, C, D đều là các giá trị số học, nhưng không có cơ sở để xác định đáp án nào là đúng nếu không có thông tin về trường vector.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về tích phân mặt loại 2 và cách tính tích phân trên một mặt nón.
Để giải quyết bài toán này, ta cần tham số hóa mặt nón \(S\) và tính tích phân đã cho.
Phương trình mặt nón là \(z = -\sqrt{x^2 + y^2}\), \(-1 \le z \le 0\).
Đặt \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), với \(0 \le r \le 1\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(z = -r\).
Vậy, tham số hóa của mặt nón là \(\mathbf{r}(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, -r)\).
Ta tính các vector tiếp tuyến:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = (\cos\theta, \sin\theta, -1)\)
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)\)
Tính tích có hướng:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos\theta & \sin\theta & -1 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (r\cos\theta, r\sin\theta, r(\cos^2\theta + \sin^2\theta)) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)\)
Vì ta nhìn từ chiều dương trục Oz, nên vector pháp tuyến hướng lên, tức là thành phần z dương. Do đó, ta chọn vector pháp tuyến là \((r\cos\theta, r\sin\theta, r)\).
Khi đó, tích phân trở thành:
\(I = \iint_S (xydx \wedge dy + yzdy \wedge dz + zxdz \wedge dx) = \iint_D (r\cos\theta r\sin\theta r + r\sin\theta (-r) r + (-r)r\cos\theta (-r)) drd\theta\)
\(I = \iint_D (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) drd\theta\)
\(I = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) dr d\theta\)
\(I = \int_0^1 r^3 dr \int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta\)
\(\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin(2\theta) d\theta - \int_0^{2\pi} \sin\theta d\theta + \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta\)
\(= \frac{1}{2} [-\frac{1}{2}\cos(2\theta)]_0^{2\pi} + [\cos\theta]_0^{2\pi} + [\sin\theta]_0^{2\pi} = 0 + 0 + 0 = 0\)
Vậy \(I = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0\)
Vậy \(a = 0, b = 0\) suy ra \(2a + b = 0\).

Để tính tích phân mặt loại 1 trên mặt ngoài của tứ diện OABC, ta cần tính tích phân trên từng mặt của tứ diện và cộng lại. Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp hàm số cần tích phân trên mặt S, do đó không thể tính được giá trị cụ thể. Vì vậy, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Câu hỏi này liên quan đến việc tính tích phân mặt trên một miền được xác định bởi các phương trình cho trước. Để giải quyết câu hỏi này, cần phải thiết lập được tích phân mặt tương ứng và tính toán nó. Tuy nhiên, câu hỏi hiện tại chỉ đưa ra các khẳng định về mối quan hệ giữa các biến \(a\) và \(b\) mà không cung cấp thông tin về tích phân cần tính hoặc cách xác định \(a\) và \(b\). Do đó, không thể xác định đáp án đúng dựa trên thông tin đã cho. Cần có thêm thông tin về biểu thức tích phân và cách tính \(a\) và \(b\) để có thể giải quyết bài toán này.