JavaScript is required

Tính \(\int\limits_C {ydx + zdy + xdz} \) với \(C:x = \cos t,y = \sin t,z = 2t,0 \le t \le 2\pi \) theo chiều tăng của t

A.

\(2\pi \)

B.

\(\pi \)

C.

\( - \pi \)

D.

\(3\pi \)

Trả lời:

Đáp án đúng: C


Ta có \(x = \cos t, y = \sin t, z = 2t\) nên \(dx = - \sin t dt, dy = \cos t dt, dz = 2dt\). Thay vào tích phân đường, ta được: \(\int_C ydx + zdy + xdz = \int_0^{2\pi} (\sin t(-\sin t) + 2t(\cos t) + \cos t(2))dt\) \(= \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + 2t\cos t + 2\cos t)dt\) Tính riêng các tích phân: * \(\int_0^{2\pi} \sin^2 t dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2} [t - \frac{\sin 2t}{2}]_0^{2\pi} = \frac{1}{2}(2\pi) = \pi\) * \(\int_0^{2\pi} 2\cos t dt = 2[\sin t]_0^{2\pi} = 0\) * \(\int_0^{2\pi} 2t\cos t dt\): Sử dụng tích phân từng phần: đặt \(u = 2t, dv = \cos t dt\) thì \(du = 2dt, v = \sin t\). Vậy \(\int_0^{2\pi} 2t\cos t dt = [2t\sin t]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} 2\sin t dt = 0 - 2[-\cos t]_0^{2\pi} = 2(\cos 2\pi - \cos 0) = 2(1 - 1) = 0\) Do đó, \(\int_C ydx + zdy + xdz = \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + 2t\cos t + 2\cos t)dt = -\pi + 0 + 0 = -\pi\) Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi liên quan