Tính \(\int\limits_C {ydx + zdy + xdz} \) với \(C:x = \cos t,y = \sin t,z = 2t,0 \le t \le 2\pi \) theo chiều tăng của t
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Ta có \(x = \cos t, y = \sin t, z = 2t\) nên \(dx = - \sin t dt, dy = \cos t dt, dz = 2dt\). Thay vào tích phân đường, ta được:
\(\int_C ydx + zdy + xdz = \int_0^{2\pi} (\sin t(-\sin t) + 2t(\cos t) + \cos t(2))dt\)
\(= \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + 2t\cos t + 2\cos t)dt\)
Tính riêng các tích phân:
* \(\int_0^{2\pi} \sin^2 t dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2} [t - \frac{\sin 2t}{2}]_0^{2\pi} = \frac{1}{2}(2\pi) = \pi\)
* \(\int_0^{2\pi} 2\cos t dt = 2[\sin t]_0^{2\pi} = 0\)
* \(\int_0^{2\pi} 2t\cos t dt\): Sử dụng tích phân từng phần: đặt \(u = 2t, dv = \cos t dt\) thì \(du = 2dt, v = \sin t\). Vậy
\(\int_0^{2\pi} 2t\cos t dt = [2t\sin t]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} 2\sin t dt = 0 - 2[-\cos t]_0^{2\pi} = 2(\cos 2\pi - \cos 0) = 2(1 - 1) = 0\)
Do đó,
\(\int_C ydx + zdy + xdz = \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + 2t\cos t + 2\cos t)dt = -\pi + 0 + 0 = -\pi\)
Vậy đáp án đúng là C.