Tính diện tích của miền \(D\) giới hạn bởi \(L:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2(t - \sin t)}\\{y = 2(1 - \cos t)}\end{array}} \right.\) với trục Ox biết rằng \(t\) đi từ \(2\pi \) đến \(0\)
Đáp án đúng: B
Để tính diện tích miền \(D\) giới hạn bởi đường cong tham số \(L\) và trục Ox, ta sử dụng công thức tính diện tích dưới đường cong tham số:
\(S = - \int_{t_1}^{t_2} y(t) x'(t) dt\)
Trong đó, \(x(t) = 2(t - \sin t)\) và \(y(t) = 2(1 - \cos t)\). Vì \(t\) đi từ \(2\pi\) đến \(0\), ta có \(t_1 = 2\pi\) và \(t_2 = 0\).
Tính đạo hàm của \(x(t)\) theo \(t\):
\(x'(t) = 2(1 - \cos t)\)
Thay vào công thức tính diện tích:
\(S = - \int_{2\pi}^{0} 2(1 - \cos t) \cdot 2(1 - \cos t) dt = -4 \int_{2\pi}^{0} (1 - \cos t)^2 dt\)
\(S = -4 \int_{2\pi}^{0} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) dt\)
Sử dụng công thức \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\):
\(S = -4 \int_{2\pi}^{0} (1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}) dt\)
\(S = -4 \int_{2\pi}^{0} (\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t) dt\)
\(S = -4 \left[ \frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t \right]_{2\pi}^{0}\)
\(S = -4 \left[ (0 - 0 + 0) - (\frac{3}{2}(2\pi) - 2\sin(2\pi) + \frac{1}{4}\sin(4\pi)) \right]\)
\(S = -4 \left[ 0 - (3\pi - 0 + 0) \right]\)
\(S = 12\pi\)
Vậy diện tích của miền \(D\) là \(12\pi\) (đvdt).
