Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan \left( {{x^2} + 4x} \right) + \ln \left( {1 + 3\tan x} \right) - {x^2}}}{{\arctan \left( {4x} \right) + \cos 2x - {e^x}}}\]
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để tính giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor (hoặc Maclaurin) cho các hàm số liên quan khi $x \to 0$:
* $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
* $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$
* $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
* $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
* $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$
Khi $x \to 0$, ta có:
$\arctan(x^2+4x) = (x^2+4x) - \frac{(x^2+4x)^3}{3} + O(x^5) = 4x + x^2 + O(x^3)$
$\ln(1+3\tan x) = 3\tan x - \frac{(3\tan x)^2}{2} + O(x^3) = 3(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)) - \frac{9}{2}(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))^2 + O(x^3) = 3x - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)$
$\arctan(4x) = 4x + O(x^3)$
$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - 2x^2 + O(x^4)$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
Thay vào biểu thức giới hạn, ta có:
$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan \left( {{x^2} + 4x} \right) + \ln \left( {1 + 3\tan x} \right) - {x^2}}}{{\arctan \left( {4x} \right) + \cos 2x - {e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(4x + x^2) + (3x - \frac{9x^2}{2}) - x^2 + O(x^3)}}{{4x + (1 - 2x^2) - (1 + x + \frac{x^2}{2}) + O(x^3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)}}{{3x - \frac{5x^2}{2} + O(x^3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7 - \frac{9x}{2} + O(x^2)}}{{3 - \frac{5x}{2} + O(x^2)}} = \frac{7}{3}$
Vậy không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.
