Tìm khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{{x^2} + 2x - 1}}\] với x₀ = - 1.

Để tìm khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số \(f(x) = e^{x^2 + 2x - 1}\) tại \(x_0 = -1\), ta thực hiện các bước sau: 1. **Tính các đạo hàm của hàm số:** - \(f(x) = e^{x^2 + 2x - 1}\) - \(f'(x) = (2x + 2)e^{x^2 + 2x - 1}\) - \(f''(x) = (2x + 2)^2 e^{x^2 + 2x - 1} + 2e^{x^2 + 2x - 1} = ((2x+2)^2 + 2)e^{x^2 + 2x - 1}\) - \(f'''(x) = ((2x+2)^3 + 4(2x+2))e^{x^2 + 2x - 1}\) - \(f''''(x) = ((2x+2)^4 + 6(2x+2)^2 + 4)e^{x^2 + 2x - 1}\) 2. **Tính giá trị của các đạo hàm tại \(x_0 = -1\):** - \(f(-1) = e^{(-1)^2 + 2(-1) - 1} = e^{1 - 2 - 1} = e^{-2}\) - \(f'(-1) = (2(-1) + 2)e^{-2} = 0\) - \(f''(-1) = (0^2 + 2)e^{-2} = 2e^{-2}\) - \(f'''(-1) = (0^3 + 0)e^{-2} = 0\) - \(f''''(-1) = (0^4 + 0 + 4)e^{-2} = 4e^{-2}\) 3. **Xây dựng khai triển Taylor:** Khai triển Taylor đến cấp 4 có dạng: \[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \frac{f''''(x_0)}{4!}(x - x_0)^4 + o((x - x_0)^4)\] Thay các giá trị đã tính vào: \[f(x) = e^{-2} + 0(x + 1) + \frac{2e^{-2}}{2}(x + 1)^2 + \frac{0}{6}(x + 1)^3 + \frac{4e^{-2}}{24}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\] \[f(x) = e^{-2} + e^{-2}(x + 1)^2 + \frac{e^{-2}}{6}(x + 1)^3 + \frac{e^{-2}}{6}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\] \[f(x) = e^{-2}\left(1 + (x + 1)^2 + \frac{1}{2}(x + 1)^3 + \frac{1}{6}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\right)\] Vậy, khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số là: \[f(x) = e^{-2}\left(1 + (1 + x)^2 + \frac{1}{2}(1 + x)^3 + \frac{1}{6}(1 + x)^4 + o((1 + x)^4)\right)\] So sánh với các đáp án, ta thấy không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn. Tuy nhiên, đáp án B có dạng gần đúng nhất, chỉ sai khác ở hệ số của \((1+x)^4\). Do đó, đáp án D là chính xác nhất.