Tìm GTLN, GTNN của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^2} - 4x} \right|\] trên đoạn [1; 5]

Để tính giới hạn này, ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định.
Ta có:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} - \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} } \right)\)
Nhân và chia cho biểu thức liên hợp:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {3{x^2} - 4x + 2} \right) - \left( {3{x^2} + 4x - 1} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} + \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 8x + 3}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} + \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} }}\)
Chia cả tử và mẫu cho x:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 8 + \frac{3}{x}}}{{\sqrt {3 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + \sqrt {3 + \frac{4}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 8}}{{2\sqrt 3 }} = - \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy đáp án đúng là C.

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = 0 và x = 1.

* Tính liên tục tại x = 0:

Ta có: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{1 - cos6x}}{{{x^2}}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{36si{n^2}3x}}{{2{x^2}}} = 18\]

\[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + b} \right) = b\]

\(f\left( 0 \right) = b\)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 18\]

* Tính liên tục tại x = 1:

Ta có: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} \left( {ax + b} \right) = a + b = a + 18\]

\[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln x}}{{{x^2} + 2x - 3}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln \left[ {1 + \left( {x - 1} \right)} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln \left[ {1 + \left( {x - 1} \right)} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)}}.\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)}} = 1.\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

\(f\left( 1 \right) = a + b = a + 18\)

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a + 18 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = - \frac{{71}}{4}\]

Vậy \(a = - \frac{{71}}{4};b = 18\)

Để tìm đạo hàm y'(2) của hàm số cho bởi phương trình tham số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm dy/dx theo tham số t:
Ta có x = 2e^t và y = t + t^2. Vậy:
dx/dt = 2e^t
dy/dt = 1 + 2t
Suy ra, dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (1 + 2t) / (2e^t)

2. Tìm giá trị của t khi x = 2:
Khi x = 2, ta có 2 = 2e^t => e^t = 1 => t = 0.

3. Tính y'(2) = dy/dx khi t = 0:
y'(2) = (1 + 2*0) / (2e^0) = 1 / 2

Vậy, y'(2) = 1/2.

Để tìm khai triển Maclaurin của hàm số \(f(x) = \sqrt{1 + \sin x} - \cos x\) đến bậc 3, ta cần khai triển \(\sqrt{1 + \sin x}\) và \(\cos x\) đến bậc 3 rồi thực hiện phép trừ.

Khai triển Maclaurin của \(\sin x\) đến bậc 3 là:
\[\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\]

Do đó:
\[\sqrt{1 + \sin x} = \sqrt{1 + \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)}\]

Sử dụng khai triển Taylor \(\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + o(u^3)\) với \(u = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\), ta có:
\[\sqrt{1 + \sin x} = 1 + \frac{1}{2}\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{1}{8}{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2} + \frac{1}{16}{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3} + o(x^3)\]
\[= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + o(x^3) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3+ o(x^3)\]

Khai triển Maclaurin của \(\cos x\) đến bậc 3 là:
\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\]

Vậy,
\[f(x) = \sqrt{1 + \sin x} - \cos x = \left(1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3\right) - \left(1 - \frac{1}{2}x^2\right) + o(x^3)\]
\[= \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right)x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)\]
Vậy đáp án đúng là: \[f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}{x^2} - \frac{1}{12}{x^3} + o\left( {{x^3}} \right)\]
Có vẻ như không có đáp án nào hoàn toàn trùng khớp. Đáp án gần đúng nhất là A với sai số ở hệ số của x^3. Tuy nhiên nếu tính toán lại ta sẽ thấy hệ số đúng của x^3 là -1/12, không phải -1/48.

Để tính giới hạn đã cho, ta sử dụng khai triển Taylor hoặc quy tắc L'Hôpital.

Ta có \(\cos 2x = 1 - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^2}}}{{2!}} + o\left( {{x^2}} \right) = 1 - 2{x^2} + o\left( {{x^2}} \right)\)

Do đó, \(\ln \cos 2x = \ln \left( {1 - 2{x^2} + o\left( {{x^2}} \right)} \right) = - 2{x^2} + o\left( {{x^2}} \right)\)

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \cos 2x}}{{\left( {{x^2} + 3x} \right)\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2{x^2}}}{{\left( {3x} \right)x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2{x^2}}}{{3{x^2}}} = - \frac{2}{3}\)

Vậy L = -2/3. Suy ra a = -2 và b = 3. Do đó, S = a + b = -2 + 3 = 1.