Tính giới hạn \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \cos 2x}}{{\left( {{x^2} + 3x} \right)\sin x}} = \frac{a}{b}\]. Khi đó, tổng S = x + b bằng:

Ta cần so sánh tốc độ tăng của các VCL khi x tiến tới +∞.

* A. xln(x)
* B. 1/(e^xln(x)): VCL này tiến tới 0 khi x → +∞, do đó bậc của nó thấp hơn tất cả các VCL còn lại.
* C. xln^2(x)
* D. √x/ln(x)

So sánh A và C: xln(x) và xln^2(x). Vì ln^2(x) > ln(x) khi x đủ lớn, nên xln^2(x) có bậc cao hơn xln(x).

So sánh C và D: xln^2(x) và √x/ln(x). Ta có thể viết lại √x/ln(x) = x^(1/2) / ln(x). Rõ ràng, khi x đủ lớn, xln^2(x) tăng nhanh hơn √x/ln(x), do đó xln^2(x) có bậc cao hơn.

Vậy, VCL có bậc cao nhất là xln^2(x).

Để tìm hệ số góc của tiệm cận xiên của đường cong $y=\sqrt[3]{x^3-3x+2}$, ta cần tìm giới hạn của $\frac{y}{x}$ khi $x$ tiến tới vô cùng.

Ta có: $k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^3-3x+2}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+2}{x^3}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{1-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}=\sqrt[3]{1}=1$

Vậy, hệ số góc của tiệm cận xiên là k = 1.

Để tìm tiệm cận đứng của hàm số $y={(x-1)}^{\frac{1}{x}}$, ta cần tìm các giá trị của x mà tại đó hàm số tiến tới vô cùng hoặc không xác định.

1. Điều kiện xác định: Hàm số xác định khi $x-1>0$ (do có số mũ không nguyên) và $x\ne 0$ (do x ở mẫu số của số mũ). Vậy, $x>1$.

2. Xét giới hạn:
- Khi $x\to 0^{+}$, hàm số không xác định do điều kiện xác định $x>1$.
- Khi $x\to 1^{+}$, ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{(x-1)}^{\frac{1}{x}}=0^1=0$. Vậy x = 1 không là tiệm cận đứng.

Do đó, hàm số không có tiệm cận đứng.

Ta có $f(x) = \sqrt{1-x^2} arcsin(x)$. Để tìm $df(\frac{1}{2})$, ta cần tìm đạo hàm của $f(x)$ rồi thay $x = \frac{1}{2}$.

$f'(x) = (\sqrt{1-x^2})' arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} (arcsin(x))'$
$f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} arcsin(x) + 1$

Thay $x = \frac{1}{2}$ vào $f'(x)$:
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} arcsin(\frac{1}{2}) + 1$
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \frac{\pi}{6} + 1$
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\pi}{6} + 1$
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{-1}{\sqrt{3}} \frac{\pi}{6} + 1 = \frac{-\pi}{6\sqrt{3}} + 1$

Vậy $df(\frac{1}{2}) = f'(\frac{1}{2})dx = (\frac{-\pi}{6\sqrt{3}} + 1) dx$.

Vậy đáp án đúng là C.