Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để xác định VCB (vô cùng bé) có bậc thấp nhất khi x → 0, ta cần xét giới hạn của từng biểu thức khi x tiến đến 0 và so sánh bậc của chúng.
A. \(\mroot{1-3x^2}{3} - 1\)
Sử dụng khai triển Taylor: \((1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u\) khi u → 0.
Ở đây, u = -3x^2 và \(\alpha = \frac{1}{3}\). Vậy, \(\mroot{1-3x^2}{3} - 1 \approx 1 + \frac{1}{3}(-3x^2) - 1 = -x^2\). Bậc của VCB này là 2.
B. \(e^{2x}sin^2x\)
Sử dụng khai triển Taylor: \(e^{2x} \approx 1 + 2x\) và \(sin(x) \approx x\) khi x → 0.
Vậy, \(e^{2x}sin^2x \approx (1 + 2x)x^2 \approx x^2\). Bậc của VCB này là 2.
C. \(tan(x) - sin(x)\)
Sử dụng khai triển Taylor: \(tan(x) \approx x + \frac{x^3}{3}\) và \(sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6}\) khi x → 0.
Vậy, \(tan(x) - sin(x) \approx (x + \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{6}) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{2}\). Bậc của VCB này là 3.
D. \(e^{x^2} - e^x\)
Sử dụng khai triển Taylor: \(e^{x^2} \approx 1 + x^2\) và \(e^x \approx 1 + x\) khi x → 0.
Vậy, \(e^{x^2} - e^x \approx (1 + x^2) - (1 + x) = x^2 - x \approx -x\) khi x → 0 (vì x có bậc thấp hơn x^2). Bậc của VCB này là 1.
So sánh bậc của các VCB, ta thấy VCB ở đáp án D có bậc thấp nhất (bậc 1).
