Tính giới hạn hàm số \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {2019x} \right)^{\frac{1}{{\ln x}}}}\]
Trả lời:
Đáp án đúng:
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tính đạo hàm cấp hai y''(2), ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm cấp nhất y'(x):
Ta có x = t³ + t và y = t² + 2.
Tính đạo hàm của x và y theo t:
dx/dt = 3t² + 1
dy/dt = 2t
Vậy, y'(x) = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (2t) / (3t² + 1)
2. Tính đạo hàm cấp hai y''(x):
Ta cần tính d(y')/dx = d(y')/dt * (dt/dx).
Ta có y' = (2t) / (3t² + 1).
Tính d(y')/dt:
d(y')/dt = [2(3t² + 1) - 2t(6t)] / (3t² + 1)² = (6t² + 2 - 12t²) / (3t² + 1)² = (2 - 6t²) / (3t² + 1)²
Ta có dx/dt = 3t² + 1, suy ra dt/dx = 1 / (3t² + 1)
Vậy, y''(x) = d(y')/dx = [(2 - 6t²) / (3t² + 1)²] * [1 / (3t² + 1)] = (2 - 6t²) / (3t² + 1)³
3. Tìm giá trị của t khi x = 2:
Ta có x = t³ + t = 2. Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình này (1³ + 1 = 2).
4. Tính y''(2):
Thay t = 1 vào biểu thức của y''(x):
y''(2) = (2 - 6(1)²) / (3(1)² + 1)³ = (2 - 6) / (3 + 1)³ = -4 / 4³ = -4 / 64 = -1/16
Vậy, y''(2) = -1/16.
1. Tính đạo hàm cấp nhất y'(x):
Ta có x = t³ + t và y = t² + 2.
Tính đạo hàm của x và y theo t:
dx/dt = 3t² + 1
dy/dt = 2t
Vậy, y'(x) = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (2t) / (3t² + 1)
2. Tính đạo hàm cấp hai y''(x):
Ta cần tính d(y')/dx = d(y')/dt * (dt/dx).
Ta có y' = (2t) / (3t² + 1).
Tính d(y')/dt:
d(y')/dt = [2(3t² + 1) - 2t(6t)] / (3t² + 1)² = (6t² + 2 - 12t²) / (3t² + 1)² = (2 - 6t²) / (3t² + 1)²
Ta có dx/dt = 3t² + 1, suy ra dt/dx = 1 / (3t² + 1)
Vậy, y''(x) = d(y')/dx = [(2 - 6t²) / (3t² + 1)²] * [1 / (3t² + 1)] = (2 - 6t²) / (3t² + 1)³
3. Tìm giá trị của t khi x = 2:
Ta có x = t³ + t = 2. Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình này (1³ + 1 = 2).
4. Tính y''(2):
Thay t = 1 vào biểu thức của y''(x):
y''(2) = (2 - 6(1)²) / (3(1)² + 1)³ = (2 - 6) / (3 + 1)³ = -4 / 4³ = -4 / 64 = -1/16
Vậy, y''(2) = -1/16.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để hàm số liên tục tại $x_0 = 0$, ta cần có $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = \alpha$. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} (1 - \sin 2x)^{\cot x}$.
Đặt $y = (1 - \sin 2x)^{\cot x}$. Khi đó, $\ln y = \cot x \ln(1 - \sin 2x) = \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{\tan x}$.
Khi $x \to 0$, ta có $\sin 2x \to 0$ và $\tan x \to 0$, nên ta có dạng $\frac{0}{0}$. Áp dụng quy tắc L'Hopital:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2\cos 2x}{1 - \sin 2x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\cos 2x \cos^2 x}{1 - \sin 2x} = \frac{-2 \cdot 1 \cdot 1}{1 - 0} = -2$.
Vậy, $\lim_{x \to 0} \ln y = -2$, suy ra $\lim_{x \to 0} y = e^{-2}$. Do đó, $\alpha = e^{-2}$.
Đặt $y = (1 - \sin 2x)^{\cot x}$. Khi đó, $\ln y = \cot x \ln(1 - \sin 2x) = \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{\tan x}$.
Khi $x \to 0$, ta có $\sin 2x \to 0$ và $\tan x \to 0$, nên ta có dạng $\frac{0}{0}$. Áp dụng quy tắc L'Hopital:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2\cos 2x}{1 - \sin 2x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\cos 2x \cos^2 x}{1 - \sin 2x} = \frac{-2 \cdot 1 \cdot 1}{1 - 0} = -2$.
Vậy, $\lim_{x \to 0} \ln y = -2$, suy ra $\lim_{x \to 0} y = e^{-2}$. Do đó, $\alpha = e^{-2}$.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Để tính giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor (hoặc Maclaurin) cho các hàm số liên quan khi $x \to 0$:
* $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
* $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$
* $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
* $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
* $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$
Khi $x \to 0$, ta có:
$\arctan(x^2+4x) = (x^2+4x) - \frac{(x^2+4x)^3}{3} + O(x^5) = 4x + x^2 + O(x^3)$
$\ln(1+3\tan x) = 3\tan x - \frac{(3\tan x)^2}{2} + O(x^3) = 3(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)) - \frac{9}{2}(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))^2 + O(x^3) = 3x - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)$
$\arctan(4x) = 4x + O(x^3)$
$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - 2x^2 + O(x^4)$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
Thay vào biểu thức giới hạn, ta có:
$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan \left( {{x^2} + 4x} \right) + \ln \left( {1 + 3\tan x} \right) - {x^2}}}{{\arctan \left( {4x} \right) + \cos 2x - {e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(4x + x^2) + (3x - \frac{9x^2}{2}) - x^2 + O(x^3)}}{{4x + (1 - 2x^2) - (1 + x + \frac{x^2}{2}) + O(x^3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)}}{{3x - \frac{5x^2}{2} + O(x^3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7 - \frac{9x}{2} + O(x^2)}}{{3 - \frac{5x}{2} + O(x^2)}} = \frac{7}{3}$
Vậy không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.
* $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
* $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$
* $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
* $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
* $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$
Khi $x \to 0$, ta có:
$\arctan(x^2+4x) = (x^2+4x) - \frac{(x^2+4x)^3}{3} + O(x^5) = 4x + x^2 + O(x^3)$
$\ln(1+3\tan x) = 3\tan x - \frac{(3\tan x)^2}{2} + O(x^3) = 3(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)) - \frac{9}{2}(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))^2 + O(x^3) = 3x - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)$
$\arctan(4x) = 4x + O(x^3)$
$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - 2x^2 + O(x^4)$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
Thay vào biểu thức giới hạn, ta có:
$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan \left( {{x^2} + 4x} \right) + \ln \left( {1 + 3\tan x} \right) - {x^2}}}{{\arctan \left( {4x} \right) + \cos 2x - {e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(4x + x^2) + (3x - \frac{9x^2}{2}) - x^2 + O(x^3)}}{{4x + (1 - 2x^2) - (1 + x + \frac{x^2}{2}) + O(x^3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)}}{{3x - \frac{5x^2}{2} + O(x^3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7 - \frac{9x}{2} + O(x^2)}}{{3 - \frac{5x}{2} + O(x^2)}} = \frac{7}{3}$
Vậy không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tính giới hạn \(J\), ta xét từng thành phần của biểu thức khi \(x\) tiến đến 2 từ bên trái (\(x \to 2^-\)).
Thành phần thứ nhất là \(\frac{{\sin(x-2)}}{{x^2-4}}\) = \(\frac{{\sin(x-2)}}{{(x-2)(x+2)}}\) khi \(x \to 2^-\). Ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{{2 + 2}} = \frac{1}{4}\]
Vậy,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{x + 2}} = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]
Thành phần thứ hai là \(e^{\frac{{-1}}{{x-2}}}\). Khi \(x \to 2^-\), ta có \(x - 2 \to 0^-\), do đó \(\frac{{-1}}{{x-2}} \to +\infty\). Vậy,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {e^{\frac{{ - 1}}{{x - 2}}}} = +\infty\]
Do đó,
\[J = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} + {e^{\frac{{ - 1}}{{x - 2}}}}} \right) = \frac{1}{4} + \infty = +\infty\]
Vì không có đáp án nào là \(+\infty\), nên đáp án A (các câu khác sai) là đáp án đúng nhất, mặc dù kết quả giới hạn là \(+\infty\) chứ không phải một giá trị hữu hạn.
Thành phần thứ nhất là \(\frac{{\sin(x-2)}}{{x^2-4}}\) = \(\frac{{\sin(x-2)}}{{(x-2)(x+2)}}\) khi \(x \to 2^-\). Ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{{2 + 2}} = \frac{1}{4}\]
Vậy,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{x + 2}} = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]
Thành phần thứ hai là \(e^{\frac{{-1}}{{x-2}}}\). Khi \(x \to 2^-\), ta có \(x - 2 \to 0^-\), do đó \(\frac{{-1}}{{x-2}} \to +\infty\). Vậy,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {e^{\frac{{ - 1}}{{x - 2}}}} = +\infty\]
Do đó,
\[J = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} + {e^{\frac{{ - 1}}{{x - 2}}}}} \right) = \frac{1}{4} + \infty = +\infty\]
Vì không có đáp án nào là \(+\infty\), nên đáp án A (các câu khác sai) là đáp án đúng nhất, mặc dù kết quả giới hạn là \(+\infty\) chứ không phải một giá trị hữu hạn.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi biểu thức trong \(\arccos\) xác định và có giá trị thuộc đoạn [-1;1]. Tức là, ta cần:
\[\left| {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right| \le 1\]
\[-1 \le \frac{x}{{{x^2} + 1}} \le 1\]
Xét hai bất đẳng thức:
1) \(\frac{x}{{{x^2} + 1}} \le 1 \Leftrightarrow x \le {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \ge 0\). Biệt thức \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 = - 3 < 0\), do đó \({x^2} - x + 1 > 0\) với mọi \(x\). Vậy bất đẳng thức này đúng với mọi \(x\).
2) \(\frac{x}{{{x^2} + 1}} \ge - 1 \Leftrightarrow x \ge - {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 \ge 0\). Biệt thức \(\Delta = {1^2} - 4 = - 3 < 0\), do đó \({x^2} + x + 1 > 0\) với mọi \(x\). Vậy bất đẳng thức này cũng đúng với mọi \(x\).
Kết luận: Tập xác định của hàm số là R.
\[\left| {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right| \le 1\]
\[-1 \le \frac{x}{{{x^2} + 1}} \le 1\]
Xét hai bất đẳng thức:
1) \(\frac{x}{{{x^2} + 1}} \le 1 \Leftrightarrow x \le {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \ge 0\). Biệt thức \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 = - 3 < 0\), do đó \({x^2} - x + 1 > 0\) với mọi \(x\). Vậy bất đẳng thức này đúng với mọi \(x\).
2) \(\frac{x}{{{x^2} + 1}} \ge - 1 \Leftrightarrow x \ge - {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 \ge 0\). Biệt thức \(\Delta = {1^2} - 4 = - 3 < 0\), do đó \({x^2} + x + 1 > 0\) với mọi \(x\). Vậy bất đẳng thức này cũng đúng với mọi \(x\).
Kết luận: Tập xác định của hàm số là R.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy
89 tài liệu310 lượt tải
Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin
125 tài liệu441 lượt tải
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông
104 tài liệu687 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán
103 tài liệu589 lượt tải
Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp
377 tài liệu1030 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
99 tài liệu1062 lượt tải
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.
77.000 đ/ tháng