Khai triển Maclaurin cho hàm số \[y = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{100}}}}{{{{\left( {1 + 2x} \right)}^{40}}}}\] đến x²

Để tính g’(1), ta cần tính đạo hàm của hàm g(x) và sau đó thay x = 1 vào.

Ta có:\[g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{1 + f\left( {\arctan x} \right)}}\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương:\[g'\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)'}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)^2}}\]

Tính các đạo hàm cần thiết:\[\left( {x + 2} \right)' = 1\]\[\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)' = f'\left( {\arctan x} \right).\left( {\arctan x} \right)' = f'\left( {\arctan x} \right).\frac{1}{{1 + x^2}}\]

Thay vào công thức đạo hàm của g(x):\[g'\left( x \right) = \frac{{1.\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right) - \left( {x + 2} \right).f'\left( {\arctan x} \right).\frac{1}{{1 + x^2}}}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)^2}}\]

Bây giờ, thay x = 1 vào biểu thức trên:\[g'\left( 1 \right) = \frac{{1 + f\left( {\arctan 1} \right) - \left( {1 + 2} \right).f'\left( {\arctan 1} \right).\frac{1}{{1 + 1^2}}}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan 1} \right)} \right)^2}}\]

Ta biết \(\arctan 1 = \frac{\pi }{4}\), \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\), và \(f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\). Thay các giá trị này vào:\[g'\left( 1 \right) = \frac{{1 + 1 - 3.4.\frac{1}{2}}}{{\left( {1 + 1} \right)^2}} = \frac{{2 - 6}}{4} = \frac{{ - 4}}{4} = - 1\]

Vậy, g’(1) = -1.

Ta có công thức tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.

Đặt n = [1/|x|], khi đó:

1 + 2 + 3 + ... + [1/|x|] = [1/|x|] ([1/|x|] + 1) / 2.

Vậy:

lim (x→0) x² (1 + 2 + 3 + ... + [1/|x|]) = lim (x→0) x² * ([1/|x|] ([1/|x|] + 1) / 2)

Vì [1/|x|] ≤ 1/|x| < [1/|x|] + 1, nên 1/|x| - 1 < [1/|x|] ≤ 1/|x|.

Do đó:

lim (x→0) x² * (((1/|x|) - 1) * (1/|x|)/2) ≤ lim (x→0) x² * ([1/|x|] ([1/|x|] + 1) / 2) ≤ lim (x→0) x² * ((1/|x|) * (1/|x| + 1) / 2)

lim (x→0) (1 - |x|) / 2 ≤ lim (x→0) x² * ([1/|x|] ([1/|x|] + 1) / 2) ≤ lim (x→0) (1 + |x|) / 2

Khi x→0, (1 - |x|) / 2 → 1/2 và (1 + |x|) / 2 → 1/2.

Vậy, theo định lý kẹp, lim (x→0) x² (1 + 2 + 3 + ... + [1/|x|]) = 1/2.