Những giới hạn nào sau đây không có dạng vô định: \[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\tan x}}{x}} \right)^{\frac{1}{x}}},B = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{x}{{\arctan x}}} \right)^x},C = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {\frac{{lnx}}{x}} \right)^{\frac{1}{x}}}?\]

Câu 30:

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi x (mét) là cạnh của hình vuông bị cắt ở mỗi góc (0 < x < 0.5). Khi đó, cạnh đáy của lăng trụ đều là 1-2x (mét) và chiều cao của lăng trụ là x (mét). Vì đây là lăng trụ đều nên đáy là tam giác đều có cạnh 1-2x. Diện tích đáy là $S = \frac{{(1 - 2x)^2\sqrt 3 }}{4}$. Thể tích của lăng trụ là $V = S.h = \frac{{(1 - 2x)^2\sqrt 3 }}{4}.x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(1 - 4x + 4x^2)x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(4x^3 - 4x^2 + x)$.

Để tìm thể tích lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(4x^3 - 4x^2 + x)$ trên khoảng (0, 0.5).

Tính đạo hàm: $V'(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(12x^2 - 8x + 1)$.

Giải phương trình $V'(x) = 0$:
$12x^2 - 8x + 1 = 0$
$\Delta' = 16 - 12 = 4$
$x_1 = \frac{{4 + 2}}{{12}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$ (loại vì x < 0.5)
$x_2 = \frac{{4 - 2}}{{12}} = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}$

Kiểm tra $x = \frac{1}{6}$: $V\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {4{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^3} - 4{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{4}{{216}} - \frac{4}{{36}} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{1}{{54}} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{{1 - 6 + 9}}{{54}}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{{54}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}}$ (mét khối)

Đổi mét khối sang decimet khối: $V = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}} {m^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}} * 1000 d{m^3} \approx 0.032 {dm^3}$ (không trùng với đáp án nào).
Vì vậy, đáp án đúng là: D. Các câu khác sai.

Câu 31:

Khi \[x \to + \infty \], sắp xếp theo thứ tự tăng dần tốc độ chạy ra vô cùng của các hàm sau:

\[\alpha \left( x \right) = x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 2x} \right),\beta \left( x \right) = \ln \left( {{x^2} - x + 2019} \right),\delta \left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + \sin {x^2}}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 32:

Cho f là hàm khả vi tại mọi điểm và \[g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{1 + f\left( {\arctan x} \right)}}\]. Biết \[f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1,f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4.\] Tính g’(1).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính g’(1), ta cần tính đạo hàm của hàm g(x) và sau đó thay x = 1 vào.

Ta có:\[g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{1 + f\left( {\arctan x} \right)}}\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương:\[g'\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)'}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)^2}}\]

Tính các đạo hàm cần thiết:\[\left( {x + 2} \right)' = 1\]\[\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)' = f'\left( {\arctan x} \right).\left( {\arctan x} \right)' = f'\left( {\arctan x} \right).\frac{1}{{1 + x^2}}\]

Thay vào công thức đạo hàm của g(x):\[g'\left( x \right) = \frac{{1.\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right) - \left( {x + 2} \right).f'\left( {\arctan x} \right).\frac{1}{{1 + x^2}}}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)^2}}\]

Bây giờ, thay x = 1 vào biểu thức trên:\[g'\left( 1 \right) = \frac{{1 + f\left( {\arctan 1} \right) - \left( {1 + 2} \right).f'\left( {\arctan 1} \right).\frac{1}{{1 + 1^2}}}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan 1} \right)} \right)^2}}\]

Ta biết $\arctan 1 = \frac{\pi }{4}$, $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$, và $f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4$. Thay các giá trị này vào:\[g'\left( 1 \right) = \frac{{1 + 1 - 3.4.\frac{1}{2}}}{{\left( {1 + 1} \right)^2}} = \frac{{2 - 6}}{4} = \frac{{ - 4}}{4} = - 1\]

Vậy, g’(1) = -1.

Câu 33:

Giới hạn của hàm số \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\left( {1 + 2 + 3 + ... + \left[ {\frac{1}{{\left| x \right|}}} \right]} \right)\] bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có công thức tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.

Đặt n = [1/|x|], khi đó:

1 + 2 + 3 + ... + [1/|x|] = [1/|x|] ([1/|x|] + 1) / 2.

Vậy:

lim (x→0) x² (1 + 2 + 3 + ... + [1/|x|]) = lim (x→0) x² * ([1/|x|] ([1/|x|] + 1) / 2)

Vì [1/|x|] ≤ 1/|x| < [1/|x|] + 1, nên 1/|x| - 1 < [1/|x|] ≤ 1/|x|.

Do đó:

lim (x→0) x² * (((1/|x|) - 1) * (1/|x|)/2) ≤ lim (x→0) x² * ([1/|x|] ([1/|x|] + 1) / 2) ≤ lim (x→0) x² * ((1/|x|) * (1/|x| + 1) / 2)

lim (x→0) (1 - |x|) / 2 ≤ lim (x→0) x² * ([1/|x|] ([1/|x|] + 1) / 2) ≤ lim (x→0) (1 + |x|) / 2

Khi x→0, (1 - |x|) / 2 → 1/2 và (1 + |x|) / 2 → 1/2.

Vậy, theo định lý kẹp, lim (x→0) x² (1 + 2 + 3 + ... + [1/|x|]) = 1/2.

Câu 34:

Tìm khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{{x^2} + 2x - 1}}\] với x₀ = - 1.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số $f(x) = e^{x^2 + 2x - 1}$ tại $x_0 = -1$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính các đạo hàm của hàm số:
- $f(x) = e^{x^2 + 2x - 1}$
- $f'(x) = (2x + 2)e^{x^2 + 2x - 1}$
- $f''(x) = (2x + 2)^2 e^{x^2 + 2x - 1} + 2e^{x^2 + 2x - 1} = ((2x+2)^2 + 2)e^{x^2 + 2x - 1}$
- $f'''(x) = ((2x+2)^3 + 4(2x+2))e^{x^2 + 2x - 1}$
- $f''''(x) = ((2x+2)^4 + 6(2x+2)^2 + 4)e^{x^2 + 2x - 1}$

2. Tính giá trị của các đạo hàm tại $x_0 = -1$:
- $f(-1) = e^{(-1)^2 + 2(-1) - 1} = e^{1 - 2 - 1} = e^{-2}$
- $f'(-1) = (2(-1) + 2)e^{-2} = 0$
- $f''(-1) = (0^2 + 2)e^{-2} = 2e^{-2}$
- $f'''(-1) = (0^3 + 0)e^{-2} = 0$
- $f''''(-1) = (0^4 + 0 + 4)e^{-2} = 4e^{-2}$

3. Xây dựng khai triển Taylor:
Khai triển Taylor đến cấp 4 có dạng:
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \frac{f''''(x_0)}{4!}(x - x_0)^4 + o((x - x_0)^4)\]
Thay các giá trị đã tính vào:
\[f(x) = e^{-2} + 0(x + 1) + \frac{2e^{-2}}{2}(x + 1)^2 + \frac{0}{6}(x + 1)^3 + \frac{4e^{-2}}{24}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\]
\[f(x) = e^{-2} + e^{-2}(x + 1)^2 + \frac{e^{-2}}{6}(x + 1)^3 + \frac{e^{-2}}{6}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\]
\[f(x) = e^{-2}\left(1 + (x + 1)^2 + \frac{1}{2}(x + 1)^3 + \frac{1}{6}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\right)\]

Vậy, khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số là:
\[f(x) = e^{-2}\left(1 + (1 + x)^2 + \frac{1}{2}(1 + x)^3 + \frac{1}{6}(1 + x)^4 + o((1 + x)^4)\right)\]
So sánh với các đáp án, ta thấy không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn. Tuy nhiên, đáp án B có dạng gần đúng nhất, chỉ sai khác ở hệ số của $(1+x)^4$. Do đó, đáp án D là chính xác nhất.

Câu 35:

Cho hàm số \[g\left( x \right) = {e^x} + \arctan x\]. Tính \[\left( {{f^{ - 1}}} \right)\left( x \right)\]

Lời giải: