Cho dãy số $\{a_{n}\}$ thỏa $a_{n + 1} = \sqrt{2 + a_{n}}$ . Biết dãy đã cho hội tụ, tính giới hạn của dãy.

$\sqrt{2}$

$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

D. $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + . . .}}}$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 2

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Tìm khai triển Maclaurin cấp 3 của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 3}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm khai triển Maclaurin cấp 3 của hàm số

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 3}

, ta thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi hàm số:

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 6 x - 3}{x^{2} + 3 x + 3} = 1 - \frac{6 x + 3}{x^{2} + 3 x + 3}

f (x) = \frac{x (x - 3)}{3 (1 + x + \frac{x^{2}}{3})} = \frac{x}{3} (x - 3) {(1 + x + \frac{x^{2}}{3})}^{- 1}

2. Sử dụng khai triển Taylor:
Áp dụng khai triển Taylor cho

\frac{1}{1 + u} = 1 - u + u^{2} - u^{3} + . . .

với

u = x + \frac{x^{2}}{3}

\frac{1}{1 + x + \frac{x^{2}}{3}} \approx 1 - (x + \frac{x^{2}}{3}) + {(x + \frac{x^{2}}{3})}^{2} - {(x + \frac{x^{2}}{3})}^{3} + o (x^{3})

= 1 - x - \frac{x^{2}}{3} + x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - x^{3} + o (x^{3})

= 1 - x + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

3. Nhân vào biểu thức ban đầu:

f (x) = \frac{x (x - 3)}{3} (1 - x + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3}))

= \frac{1}{3} (x^{2} - 3 x) (1 - x + \frac{2}{3} x^{2} + o (x^{2}))

= \frac{1}{3} (x^{2} - 3 x - x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2}{3} x4 - 2 x^{3} + o (x^{3}))

= \frac{1}{3} (- 3 x + 4 x^{2} - 3 x^{3} + o (x^{3}))

= - x + \frac{4}{3} x^{2} - x^{3} + o (x^{3})

Vậy, khai triển Maclaurin cấp 3 của hàm số là:

- x + \frac{4}{3} x^{2} - x^{3} + o (x^{3})

Câu 15:

Tính $\lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin^{2} x)}^{\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x \tan (x)}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn

\lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin^{2} x)}^{\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x \tan (x)}}

, ta thực hiện các bước sau:

1. Đặt

L = \lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin^{2} x)}^{\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x \tan (x)}}

. Lấy logarit tự nhiên hai vế:

\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x^{2} - 3 x \tan (x)} \ln (\cos (x) + \sin^{2} x)

2. Sử dụng khai triển Taylor xung quanh

x = 0

:
-

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4})

\sin^{2} x = {(x - \frac{x^{3}}{6} + O (x^{5}))}^{2} = x^{2} + O (x4)

\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + O (x5)

3. Thay vào biểu thức:

\ln (\cos x + \sin^{2} x) = \ln (1 - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} + O (x4)) = \ln (1 + \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4})) = \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4})

x^{2} - 3 x \tan x = x^{2} - 3 x (x + \frac{x^{3}}{3} + O (x^{5})) = x^{2} - 3 x^{2} + O (x^{4}) = - 2 x^{2} + O (x^{4})

4. Tính giới hạn:

\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{- 2 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{- 4} = - \frac{1}{4}

5. Suy ra

L = e^{- \frac{1}{4}}

.
Vậy đáp án là C.

e^{\frac{- 1}{4}}

Câu 16:

Hàm nào sau đây có nhiều hơn 2 điểm gián đoạn?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đáp án A: Hàm

\frac{e^{x}}{x}

gián đoạn tại x=0 (1 điểm gián đoạn).
Đáp án B: Hàm

\frac{\sin (x)}{x^{2} + x} = \frac{\sin (x)}{x (x + 1)}

gián đoạn tại x = 0 và x = -1 (2 điểm gián đoạn).
Đáp án C: Hàm

\frac{x}{\sin (x)}

gián đoạn tại các điểm

x = k π

với k là số nguyên khác 0. Vì sin(x) = 0 khi

x = k π

. Vậy có vô số điểm gián đoạn.
Đáp án D: Hàm

\frac{x}{e^{x}}

liên tục trên R vì

e^{x}

luôn khác 0.
Vậy hàm có nhiều hơn 2 điểm gián đoạn là đáp án C.

Câu 17:

Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos x + {{\sin }^2}x} \right)^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:
$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos x + {{\sin }^2}x} \right)^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + (\cos x - 1) + {{\sin }^2}x} \right)^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + (\cos x - 1) + {{\sin }^2}x} \right)}^{\frac{1}{{(\cos x - 1) + {{\sin }^2}x}}}}} \right]^{\frac{{(\cos x - 1) + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{\frac{{(\cos x - 1) + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}}}$
Ta tính:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\cos x - 1) + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}} + 1$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{{\sin }^2}x}} + 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{4{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} + 1 = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$
Vậy $I = {e^{\frac{1}{2}}} = \sqrt e $

Câu 18:

Tìm GTLN, GTNN của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^2} - 4x} \right|\] trên đoạn [1; 5]

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = |x² - 4x| trên đoạn [1; 5], ta thực hiện các bước sau:

1. Xét hàm số g(x) = x² - 4x trên đoạn [1; 5].
2. Tìm các điểm tới hạn của g(x) bằng cách giải g'(x) = 0.
g'(x) = 2x - 4 = 0 <=> x = 2. Điểm x = 2 thuộc đoạn [1; 5].
3. Tính giá trị của g(x) tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn [1; 5]:
g(1) = 1 - 4 = -3
g(2) = 4 - 8 = -4
g(5) = 25 - 20 = 5
4. Suy ra:
f(1) = |-3| = 3
f(2) = |-4| = 4
f(5) = |5| = 5
5. Vậy, GTNN của f(x) trên [1; 5] là 3 (đạt tại x = 1), và GTLN của f(x) trên [1; 5] là 5 (đạt tại x = 5).

Tuy nhiên, các phương án A, B, C, D đều không chính xác. Có lẽ câu hỏi hoặc các đáp án có sai sót. Nhưng nếu đề hỏi giá trị của f(x) thì đáp án gần đúng nhất là D. 0; 5, tuy nhiên 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn này. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3.

Câu 19:

Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} - \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} } \right)\] bằng:

Lời giải: