Tìm khai triển Maclaurin của \[f\left( x \right) = \sqrt {1 + \sin x} - \cos x\] đến x³?

Để tìm khai triển Maclaurin của hàm số \(f(x) = \sqrt{1 + \sin x} - \cos x\) đến bậc 3, ta cần khai triển \(\sqrt{1 + \sin x}\) và \(\cos x\) đến bậc 3 rồi thực hiện phép trừ. Khai triển Maclaurin của \(\sin x\) đến bậc 3 là: \[\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\] Do đó: \[\sqrt{1 + \sin x} = \sqrt{1 + \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)}\] Sử dụng khai triển Taylor \(\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + o(u^3)\) với \(u = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\), ta có: \[\sqrt{1 + \sin x} = 1 + \frac{1}{2}\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{1}{8}{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2} + \frac{1}{16}{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3} + o(x^3)\] \[= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + o(x^3) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3+ o(x^3)\] Khai triển Maclaurin của \(\cos x\) đến bậc 3 là: \[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\] Vậy, \[f(x) = \sqrt{1 + \sin x} - \cos x = \left(1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3\right) - \left(1 - \frac{1}{2}x^2\right) + o(x^3)\] \[= \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right)x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)\] Vậy đáp án đúng là: \[f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}{x^2} - \frac{1}{12}{x^3} + o\left( {{x^3}} \right)\] Có vẻ như không có đáp án nào hoàn toàn trùng khớp. Đáp án gần đúng nhất là A với sai số ở hệ số của x^3. Tuy nhiên nếu tính toán lại ta sẽ thấy hệ số đúng của x^3 là -1/12, không phải -1/48.