Tính $\lim_{n \to \infty} \frac{x \sin (2 x) - (2 x - 1) \cos (x)}{x^{2} + x + 1}$

+ ∞

Không tồn tại

- ∞

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tính giới hạn này khi n tiến tới vô cùng, ta cần xem xét hành vi của tử số và mẫu số khi x tiến tới vô cùng. Mẫu số là

x^{2} + x + 1

, khi x tiến tới vô cùng, mẫu số tiến tới vô cùng và có bậc là 2. Xét tử số:

x \sin (2 x) - (2 x - 1) \cos (x)

Ta biết rằng

- 1 \leq \sin (2 x) \leq 1

và

- 1 \leq \cos (x) \leq 1

. Do đó,

x \sin (2 x)

bị chặn bởi -x và x, còn

(2 x - 1) \cos (x)

bị chặn bởi

- (2 x - 1)

và

(2 x - 1)

. Vì vậy, tử số có dạng là một biểu thức mà mỗi thành phần của nó có bậc không vượt quá 1. Khi chia tử số (bậc tối đa 1) cho mẫu số (bậc 2), giới hạn của phân thức này khi x tiến tới vô cùng sẽ là 0. Vậy,

\lim_{n \to \infty} \frac{x \sin (2 x) - (2 x - 1) \cos (x)}{x^{2} + x + 1} = 0

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 2

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 1:

Cho x(t)= $t^{3} + 1, y (t) = t e^{t}$ , tính y(x) tại x 0

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính y(x) tại x=0, ta cần tìm giá trị của t sao cho x(t) = 0.

Từ x(t) = t^3 + 1 = 0, suy ra t^3 = -1, vậy t = -1.

Tiếp theo, ta cần tính đạo hàm của y(t) theo t và đạo hàm của x(t) theo t:

y'(t) = (te^t)' = e^t + te^t = e^t(1 + t)
x'(t) = (t^3 + 1)' = 3t^2

Sau đó, ta tính y'(x) bằng công thức: y'(x) = y'(t) / x'(t)

y'(x) = [e^t(1 + t)] / [3t^2]

Cuối cùng, thay t = -1 vào biểu thức trên:

y'(-1) = [e^(-1)(1 + (-1))] / [3(-1)^2] = [e^(-1) * 0] / 3 = 0

Vậy, y'(x) tại x = 0 là 0.

Câu 2:

Tính đạo hàm cấp 4 của $f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ tại x = 0 là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số

f (x) = \frac{\sin (x)}{x}

tại x = 0, ta sử dụng khai triển Maclaurin của sin(x):

\sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + . . .

Do đó,

f (x) = \frac{\sin (x)}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + . . .

Ta có khai triển Taylor tổng quát của f(x) quanh x=0 là:

f (x) = f (0) + \frac{f' (0)}{1!} x + \frac{f " (0)}{2!} x^{2} + \frac{f "' (0)}{3!} x^{3} + \frac{f^{(4)} (0)}{4!} x^{4} + . . .

So sánh hệ số của

x^{4}

, ta có:

\frac{f^{(4)} (0)}{4!} = \frac{1}{5!}

f^{(4)} (0) = \frac{4!}{5!} = \frac{1}{5}

Vậy, đạo hàm cấp 4 của f(x) tại x = 0 là

\frac{1}{5}

Câu 3:

Tính đạo hàm cấp 2 của

f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})

tại

x = \frac{π}{6}

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x) = sin(2x + π/3) tại x = π/6, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:
f'(x) = d/dx [sin(2x + π/3)] = 2cos(2x + π/3)

2. Tính đạo hàm cấp 2:
f''(x) = d/dx [2cos(2x + π/3)] = -4sin(2x + π/3)

3. Thay x = π/6 vào f''(x):
f''(π/6) = -4sin(2(π/6) + π/3) = -4sin(π/3 + π/3) = -4sin(2π/3) = -4sin(π - π/3) = -4sin(π/3) = -4(√3/2) = -2√3

Vậy, đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x = π/6 là -2√3.

Câu 38:

Tính giới hạn hàm số \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {2019x} \right)^{\frac{1}{{\ln x}}}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 39:

Cho hàm tham số hóa \[y\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {t^3} + t}\\{y = {t^2} + 2}\end{array}} \right.\]. Tính đạo hàm cấp 2 y’’(2).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính đạo hàm cấp hai y''(2), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp nhất y'(x):
Ta có x = t³ + t và y = t² + 2.
Tính đạo hàm của x và y theo t:
dx/dt = 3t² + 1
dy/dt = 2t
Vậy, y'(x) = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (2t) / (3t² + 1)

2. Tính đạo hàm cấp hai y''(x):
Ta cần tính d(y')/dx = d(y')/dt * (dt/dx).
Ta có y' = (2t) / (3t² + 1).
Tính d(y')/dt:
d(y')/dt = [2(3t² + 1) - 2t(6t)] / (3t² + 1)² = (6t² + 2 - 12t²) / (3t² + 1)² = (2 - 6t²) / (3t² + 1)²
Ta có dx/dt = 3t² + 1, suy ra dt/dx = 1 / (3t² + 1)
Vậy, y''(x) = d(y')/dx = [(2 - 6t²) / (3t² + 1)²] * [1 / (3t² + 1)] = (2 - 6t²) / (3t² + 1)³

3. Tìm giá trị của t khi x = 2:
Ta có x = t³ + t = 2. Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình này (1³ + 1 = 2).

4. Tính y''(2):
Thay t = 1 vào biểu thức của y''(x):
y''(2) = (2 - 6(1)²) / (3(1)² + 1)³ = (2 - 6) / (3 + 1)³ = -4 / 4³ = -4 / 64 = -1/16

Vậy, y''(2) = -1/16.

Câu 40:

Tìm \[ \propto \] để hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1 - \sin 2x} \right)}^{\cot x}},x \ne 0}\\{\alpha ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0}\end{array}} \right.\] liên tục tại x₀ = 0.

Lời giải: