Tính đạo hàm cấp 4 của $f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ tại x = 0 là

Không tồn tại

$\frac{1}{5}$

$\frac{1}{120}$

Các câu khác sai

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số

f (x) = \frac{\sin (x)}{x}

tại x = 0, ta sử dụng khai triển Maclaurin của sin(x):

\sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + . . .

Do đó,

f (x) = \frac{\sin (x)}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + . . .

Ta có khai triển Taylor tổng quát của f(x) quanh x=0 là:

f (x) = f (0) + \frac{f' (0)}{1!} x + \frac{f " (0)}{2!} x^{2} + \frac{f "' (0)}{3!} x^{3} + \frac{f^{(4)} (0)}{4!} x^{4} + . . .

So sánh hệ số của

x^{4}

, ta có:

\frac{f^{(4)} (0)}{4!} = \frac{1}{5!}

f^{(4)} (0) = \frac{4!}{5!} = \frac{1}{5}

Vậy, đạo hàm cấp 4 của f(x) tại x = 0 là

\frac{1}{5}

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 2

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 3:

Tính đạo hàm cấp 2 của

f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})

tại

x = \frac{π}{6}

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x) = sin(2x + π/3) tại x = π/6, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:
f'(x) = d/dx [sin(2x + π/3)] = 2cos(2x + π/3)

2. Tính đạo hàm cấp 2:
f''(x) = d/dx [2cos(2x + π/3)] = -4sin(2x + π/3)

3. Thay x = π/6 vào f''(x):
f''(π/6) = -4sin(2(π/6) + π/3) = -4sin(π/3 + π/3) = -4sin(2π/3) = -4sin(π - π/3) = -4sin(π/3) = -4(√3/2) = -2√3

Vậy, đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x = π/6 là -2√3.

Câu 38:

Tính giới hạn hàm số \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {2019x} \right)^{\frac{1}{{\ln x}}}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 39:

Cho hàm tham số hóa \[y\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {t^3} + t}\\{y = {t^2} + 2}\end{array}} \right.\]. Tính đạo hàm cấp 2 y’’(2).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính đạo hàm cấp hai y''(2), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp nhất y'(x):
Ta có x = t³ + t và y = t² + 2.
Tính đạo hàm của x và y theo t:
dx/dt = 3t² + 1
dy/dt = 2t
Vậy, y'(x) = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (2t) / (3t² + 1)

2. Tính đạo hàm cấp hai y''(x):
Ta cần tính d(y')/dx = d(y')/dt * (dt/dx).
Ta có y' = (2t) / (3t² + 1).
Tính d(y')/dt:
d(y')/dt = [2(3t² + 1) - 2t(6t)] / (3t² + 1)² = (6t² + 2 - 12t²) / (3t² + 1)² = (2 - 6t²) / (3t² + 1)²
Ta có dx/dt = 3t² + 1, suy ra dt/dx = 1 / (3t² + 1)
Vậy, y''(x) = d(y')/dx = [(2 - 6t²) / (3t² + 1)²] * [1 / (3t² + 1)] = (2 - 6t²) / (3t² + 1)³

3. Tìm giá trị của t khi x = 2:
Ta có x = t³ + t = 2. Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình này (1³ + 1 = 2).

4. Tính y''(2):
Thay t = 1 vào biểu thức của y''(x):
y''(2) = (2 - 6(1)²) / (3(1)² + 1)³ = (2 - 6) / (3 + 1)³ = -4 / 4³ = -4 / 64 = -1/16

Vậy, y''(2) = -1/16.

Câu 40:

Tìm \[ \propto \] để hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1 - \sin 2x} \right)}^{\cot x}},x \ne 0}\\{\alpha ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0}\end{array}} \right.\] liên tục tại x₀ = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số liên tục tại $x_0 = 0$, ta cần có $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = \alpha$. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} (1 - \sin 2x)^{\cot x}$.

Đặt $y = (1 - \sin 2x)^{\cot x}$. Khi đó, $\ln y = \cot x \ln(1 - \sin 2x) = \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{\tan x}$.

Khi $x \to 0$, ta có $\sin 2x \to 0$ và $\tan x \to 0$, nên ta có dạng $\frac{0}{0}$. Áp dụng quy tắc L'Hopital:

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2\cos 2x}{1 - \sin 2x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\cos 2x \cos^2 x}{1 - \sin 2x} = \frac{-2 \cdot 1 \cdot 1}{1 - 0} = -2$.

Vậy, $\lim_{x \to 0} \ln y = -2$, suy ra $\lim_{x \to 0} y = e^{-2}$. Do đó, $\alpha = e^{-2}$.

Câu 24:

Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan \left( {{x^2} + 4x} \right) + \ln \left( {1 + 3\tan x} \right) - {x^2}}}{{\arctan \left( {4x} \right) + \cos 2x - {e^x}}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor (hoặc Maclaurin) cho các hàm số liên quan khi $x \to 0$:

* $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
* $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$
* $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
* $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
* $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

Khi $x \to 0$, ta có:

$\arctan(x^2+4x) = (x^2+4x) - \frac{(x^2+4x)^3}{3} + O(x^5) = 4x + x^2 + O(x^3)$
$\ln(1+3\tan x) = 3\tan x - \frac{(3\tan x)^2}{2} + O(x^3) = 3(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)) - \frac{9}{2}(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))^2 + O(x^3) = 3x - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)$
$\arctan(4x) = 4x + O(x^3)$
$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - 2x^2 + O(x^4)$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

Thay vào biểu thức giới hạn, ta có:

$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan \left( {{x^2} + 4x} \right) + \ln \left( {1 + 3\tan x} \right) - {x^2}}}{{\arctan \left( {4x} \right) + \cos 2x - {e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(4x + x^2) + (3x - \frac{9x^2}{2}) - x^2 + O(x^3)}}{{4x + (1 - 2x^2) - (1 + x + \frac{x^2}{2}) + O(x^3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7x - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)}}{{3x - \frac{5x^2}{2} + O(x^3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{7 - \frac{9x}{2} + O(x^2)}}{{3 - \frac{5x}{2} + O(x^2)}} = \frac{7}{3}$

Vậy không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Câu 25:

Giới hạn \[J = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} + {e^{\frac{{ - 1}}{{x - 2}}}}} \right)\] bằng:

Lời giải: