Cho hàm số y = f(x) xác định bởi \[x = 2{t^2} + 2t,y = 2t{e^{2t}}\]. Tính y’’?

\[\frac{{{e^{2t}}}}{{2t}}\]

\[\frac{{{e^{2t}}}}{{2t + 1}}\]

\[\frac{{2{e^{2t}}}}{{2t + 1}}\]

\[\frac{{{e^{2t}}}}{{2t + 2}}\]

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để tính y’’, ta thực hiện các bước sau: 1. **Tính đạo hàm cấp nhất y’:** Ta có x = 2t² + 2t và y = 2te^(2t) Tính đạo hàm của x và y theo t: x’ = dx/dt = 4t + 2 y’ = dy/dt = 2e^(2t) + 4te^(2t) = 2e^(2t)(1 + 2t) Vậy, y’ = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = [2e^(2t)(1 + 2t)] / (4t + 2) = e^(2t) 2. **Tính đạo hàm cấp hai y’’:** Ta có y' = e^(2t). Để tính y'' = d²y/dx², ta cần tính dy’/dx. Ta biết rằng dy’/dx = (dy’/dt) / (dx/dt) Tính dy’/dt: dy’/dt = d(e^(2t))/dt = 2e^(2t) Tính dx/dt (đã tính ở trên): dx/dt = 4t + 2 Vậy, y’’ = (2e^(2t)) / (4t + 2) = e^(2t) / (2t + 1) Vậy đáp án đúng là: B.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 2

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 28:

Khai triển Maclaurin cho hàm số \[y = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{100}}}}{{{{\left( {1 + 2x} \right)}^{40}}}}\] đến x²

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để khai triển Maclaurin đến x^2 cho hàm số $y = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{100}}}}{{{{\left( {1 + 2x} \right)}^{40}}}}\, ta thực hiện như sau:

1. Khai triển Taylor cho (1+x)^100:
Sử dụng khai triển Taylor: \((1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + o(x^2)$
Với n = 100, ta có:
$(1+x)^{100} = 1 + 100x + \frac{100 \cdot 99}{2}x^2 + o(x^2) = 1 + 100x + 4950x^2 + o(x^2)$

2. Khai triển Taylor cho (1+2x)^(-40):
Sử dụng khai triển Taylor: $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + o(u^2)$
Với u = 2x và n = -40, ta có:
$(1+2x)^{-40} = 1 + (-40)(2x) + \frac{(-40)(-41)}{2}(2x)^2 + o(x^2) = 1 - 80x + 3280x^2 + o(x^2)$

3. Nhân hai khai triển:
$y = (1 + 100x + 4950x^2 + o(x^2))(1 - 80x + 3280x^2 + o(x^2))$
Nhân và giữ lại các số hạng đến x^2:
$y = 1 - 80x + 3280x^2 + 100x - 8000x^2 + 4950x^2 + o(x^2)$
$y = 1 + (100 - 80)x + (3280 - 8000 + 4950)x^2 + o(x^2)$
$y = 1 + 20x + 230x^2 + o(x^2)$

Vậy, khai triển Maclaurin của hàm số đến x^2 là: \[f(x) = 1 + 20x + 230x^2 + o(x^2)\]

Câu 29:

Những giới hạn nào sau đây không có dạng vô định:

\[A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\tan x}}{x}} \right)^{\frac{1}{x}}},B = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{x}{{\arctan x}}} \right)^x},C = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {\frac{{lnx}}{x}} \right)^{\frac{1}{x}}}?\]

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để xác định giới hạn nào không có dạng vô định, ta cần xét từng giới hạn một:

* Giới hạn A: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\tan x}}{x}} \right)^{\frac{1}{x}}}$. Khi $x \to 0$, $\frac{{\tan x}}{x} \to 1$ và $\frac{1}{x} \to \infty $. Do đó, giới hạn này có dạng $1^\infty$, là một dạng vô định.

* Giới hạn B: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\frac{x}{{\arctan x}}} \right)^x}$. Khi $x \to +\infty$, $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$, do đó $\frac{x}{{\arctan x}} \to \infty$ và $x \to \infty$. Vậy giới hạn này có dạng $\infty^\infty$, không phải là dạng vô định.

* Giới hạn C: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {\frac{{\ln x}}{x}} \right)^{\frac{1}{x}}}$. Khi $x \to {1^+}$, $\ln x \to 0$ và $\frac{{\ln x}}{x} \to 0$. Đồng thời, $\frac{1}{x} \to 1$. Vậy giới hạn này có dạng $0^1$, không phải là dạng vô định và có giá trị bằng 0.

Vậy, các giới hạn không có dạng vô định là B và C.

Câu 30:

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi x (mét) là cạnh của hình vuông bị cắt ở mỗi góc (0 < x < 0.5). Khi đó, cạnh đáy của lăng trụ đều là 1-2x (mét) và chiều cao của lăng trụ là x (mét). Vì đây là lăng trụ đều nên đáy là tam giác đều có cạnh 1-2x. Diện tích đáy là $S = \frac{{(1 - 2x)^2\sqrt 3 }}{4}$. Thể tích của lăng trụ là $V = S.h = \frac{{(1 - 2x)^2\sqrt 3 }}{4}.x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(1 - 4x + 4x^2)x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(4x^3 - 4x^2 + x)$.

Để tìm thể tích lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(4x^3 - 4x^2 + x)$ trên khoảng (0, 0.5).

Tính đạo hàm: $V'(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(12x^2 - 8x + 1)$.

Giải phương trình $V'(x) = 0$:
$12x^2 - 8x + 1 = 0$
$\Delta' = 16 - 12 = 4$
$x_1 = \frac{{4 + 2}}{{12}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$ (loại vì x < 0.5)
$x_2 = \frac{{4 - 2}}{{12}} = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}$

Kiểm tra $x = \frac{1}{6}$: $V\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {4{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^3} - 4{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{4}{{216}} - \frac{4}{{36}} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{1}{{54}} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{{1 - 6 + 9}}{{54}}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{{54}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}}$ (mét khối)

Đổi mét khối sang decimet khối: $V = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}} {m^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}} * 1000 d{m^3} \approx 0.032 {dm^3}$ (không trùng với đáp án nào).
Vì vậy, đáp án đúng là: D. Các câu khác sai.

Câu 31:

Khi \[x \to + \infty \], sắp xếp theo thứ tự tăng dần tốc độ chạy ra vô cùng của các hàm sau:

\[\alpha \left( x \right) = x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 2x} \right),\beta \left( x \right) = \ln \left( {{x^2} - x + 2019} \right),\delta \left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + \sin {x^2}}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 32:

Cho f là hàm khả vi tại mọi điểm và \[g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{1 + f\left( {\arctan x} \right)}}\]. Biết \[f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1,f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4.\] Tính g’(1).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính g’(1), ta cần tính đạo hàm của hàm g(x) và sau đó thay x = 1 vào.

Ta có:\[g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{1 + f\left( {\arctan x} \right)}}\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương:\[g'\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)'}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)^2}}\]

Tính các đạo hàm cần thiết:\[\left( {x + 2} \right)' = 1\]\[\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)' = f'\left( {\arctan x} \right).\left( {\arctan x} \right)' = f'\left( {\arctan x} \right).\frac{1}{{1 + x^2}}\]

Thay vào công thức đạo hàm của g(x):\[g'\left( x \right) = \frac{{1.\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right) - \left( {x + 2} \right).f'\left( {\arctan x} \right).\frac{1}{{1 + x^2}}}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)^2}}\]

Bây giờ, thay x = 1 vào biểu thức trên:\[g'\left( 1 \right) = \frac{{1 + f\left( {\arctan 1} \right) - \left( {1 + 2} \right).f'\left( {\arctan 1} \right).\frac{1}{{1 + 1^2}}}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan 1} \right)} \right)^2}}\]

Ta biết $\arctan 1 = \frac{\pi }{4}$, $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$, và $f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4$. Thay các giá trị này vào:\[g'\left( 1 \right) = \frac{{1 + 1 - 3.4.\frac{1}{2}}}{{\left( {1 + 1} \right)^2}} = \frac{{2 - 6}}{4} = \frac{{ - 4}}{4} = - 1\]

Vậy, g’(1) = -1.

Câu 33:

Giới hạn của hàm số \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\left( {1 + 2 + 3 + ... + \left[ {\frac{1}{{\left| x \right|}}} \right]} \right)\] bằng:

Lời giải: