Cho hàm số \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( t \right) = \ln \left( {{t^3} + 2} \right) - 1}\\{y\left( t \right) = \sin \left( {{t^2} - t - 2} \right)}\end{array}} \right.\]. Đạo hàm của y theo x tại x = - 1 là:

Trả lời:

Đáp án đúng:

Vì x = -1 nên \$ln(t^3 + 2) - 1 = -1 \\Rightarrow ln(t^3 + 2) = 0 \\Rightarrow t^3 + 2 = 1 \\Rightarrow t^3 = -1 \\Rightarrow t = -1\$. Ta có:\$\\dfrac{dx}{dt} = \\dfrac{3t^2}{t^3 + 2}\$, \$\\dfrac{dy}{dt} = (2t - 1)cos(t^2 - t - 2)\$.\\Khi t = -1 thì \$\\dfrac{dx}{dt} = \\dfrac{3}{(-1) + 2} = 3\$; \$\\dfrac{dy}{dt} = (-2 - 1)cos(1 + 1 - 2) = -3cos(0) = -3\$.\\Vậy \$\\dfrac{dy}{dx} = \\dfrac{\\dfrac{dy}{dt}}{\\dfrac{dx}{dt}} = \\dfrac{-3}{3} = -1\$.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 2

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 37:

Hàm số nào sau đây không chẵn cũng không lẻ?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định D của hàm số.

2. Kiểm tra xem D có phải là tập đối xứng hay không (tức là nếu x thuộc D thì -x cũng thuộc D).

3. Tính f(-x) và so sánh với f(x) và -f(x):

- Nếu f(-x) = f(x) với mọi x thuộc D thì f(x) là hàm chẵn.

- Nếu f(-x) = -f(x) với mọi x thuộc D thì f(x) là hàm lẻ.

- Nếu không xảy ra hai trường hợp trên thì f(x) không chẵn không lẻ.

Xét đáp án A: $f(x) = 2 - x + 3x^4$

$f(-x) = 2 - (-x) + 3(-x)^4 = 2 + x + 3x^4$

Ta thấy $f(-x)$ khác $f(x)$ và $f(-x)$ khác $-f(x)$, vậy hàm số này không chẵn cũng không lẻ.

Xét đáp án B: $g(x) = 2x - x^5$

$g(-x) = 2(-x) - (-x)^5 = -2x + x^5 = -(2x - x^5) = -g(x)$

Vậy hàm số này là hàm lẻ.

Xét đáp án C: $f(x) = 3 + 3x^6$

$f(-x) = 3 + 3(-x)^6 = 3 + 3x^6 = f(x)$

Vậy hàm số này là hàm chẵn.

Vậy đáp án A là đáp án đúng.

Câu 13:

Cho dãy số $\{a_{n}\}$ thỏa $a_{n + 1} = \sqrt{2 + a_{n}}$ . Biết dãy đã cho hội tụ, tính giới hạn của dãy.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 14:

Tìm khai triển Maclaurin cấp 3 của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 3}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm khai triển Maclaurin cấp 3 của hàm số

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 3}

, ta thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi hàm số:

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 6 x - 3}{x^{2} + 3 x + 3} = 1 - \frac{6 x + 3}{x^{2} + 3 x + 3}

f (x) = \frac{x (x - 3)}{3 (1 + x + \frac{x^{2}}{3})} = \frac{x}{3} (x - 3) {(1 + x + \frac{x^{2}}{3})}^{- 1}

2. Sử dụng khai triển Taylor:
Áp dụng khai triển Taylor cho

\frac{1}{1 + u} = 1 - u + u^{2} - u^{3} + . . .

với

u = x + \frac{x^{2}}{3}

\frac{1}{1 + x + \frac{x^{2}}{3}} \approx 1 - (x + \frac{x^{2}}{3}) + {(x + \frac{x^{2}}{3})}^{2} - {(x + \frac{x^{2}}{3})}^{3} + o (x^{3})

= 1 - x - \frac{x^{2}}{3} + x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - x^{3} + o (x^{3})

= 1 - x + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

3. Nhân vào biểu thức ban đầu:

f (x) = \frac{x (x - 3)}{3} (1 - x + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3}))

= \frac{1}{3} (x^{2} - 3 x) (1 - x + \frac{2}{3} x^{2} + o (x^{2}))

= \frac{1}{3} (x^{2} - 3 x - x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2}{3} x4 - 2 x^{3} + o (x^{3}))

= \frac{1}{3} (- 3 x + 4 x^{2} - 3 x^{3} + o (x^{3}))

= - x + \frac{4}{3} x^{2} - x^{3} + o (x^{3})

Vậy, khai triển Maclaurin cấp 3 của hàm số là:

- x + \frac{4}{3} x^{2} - x^{3} + o (x^{3})

Câu 15:

Tính $\lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin^{2} x)}^{\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x \tan (x)}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn

\lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin^{2} x)}^{\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x \tan (x)}}

, ta thực hiện các bước sau:

1. Đặt

L = \lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin^{2} x)}^{\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x \tan (x)}}

. Lấy logarit tự nhiên hai vế:

\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x^{2} - 3 x \tan (x)} \ln (\cos (x) + \sin^{2} x)

2. Sử dụng khai triển Taylor xung quanh

x = 0

:
-

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4})

\sin^{2} x = {(x - \frac{x^{3}}{6} + O (x^{5}))}^{2} = x^{2} + O (x4)

\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + O (x5)

3. Thay vào biểu thức:

\ln (\cos x + \sin^{2} x) = \ln (1 - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} + O (x4)) = \ln (1 + \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4})) = \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4})

x^{2} - 3 x \tan x = x^{2} - 3 x (x + \frac{x^{3}}{3} + O (x^{5})) = x^{2} - 3 x^{2} + O (x^{4}) = - 2 x^{2} + O (x^{4})

4. Tính giới hạn:

\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{- 2 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{- 4} = - \frac{1}{4}

5. Suy ra

L = e^{- \frac{1}{4}}

.
Vậy đáp án là C.

e^{\frac{- 1}{4}}

Câu 16:

Hàm nào sau đây có nhiều hơn 2 điểm gián đoạn?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đáp án A: Hàm

\frac{e^{x}}{x}

gián đoạn tại x=0 (1 điểm gián đoạn).
Đáp án B: Hàm

\frac{\sin (x)}{x^{2} + x} = \frac{\sin (x)}{x (x + 1)}

gián đoạn tại x = 0 và x = -1 (2 điểm gián đoạn).
Đáp án C: Hàm

\frac{x}{\sin (x)}

gián đoạn tại các điểm

x = k π

với k là số nguyên khác 0. Vì sin(x) = 0 khi

x = k π

. Vậy có vô số điểm gián đoạn.
Đáp án D: Hàm

\frac{x}{e^{x}}

liên tục trên R vì

e^{x}

luôn khác 0.
Vậy hàm có nhiều hơn 2 điểm gián đoạn là đáp án C.

Câu 17:

Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos x + {{\sin }^2}x} \right)^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}\]

Lời giải: