Tìm đạo hàm \[y' = y'\left( 2 \right)\] của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2.{e^t}}\\{y = t + {t^2}}\end{array}} \right.\]

Để tìm khai triển Maclaurin của hàm số \(f(x) = \sqrt{1 + \sin x} - \cos x\) đến bậc 3, ta cần khai triển \(\sqrt{1 + \sin x}\) và \(\cos x\) đến bậc 3 rồi thực hiện phép trừ.

Khai triển Maclaurin của \(\sin x\) đến bậc 3 là:
\[\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\]

Do đó:
\[\sqrt{1 + \sin x} = \sqrt{1 + \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)}\]

Sử dụng khai triển Taylor \(\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + o(u^3)\) với \(u = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\), ta có:
\[\sqrt{1 + \sin x} = 1 + \frac{1}{2}\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{1}{8}{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2} + \frac{1}{16}{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3} + o(x^3)\]
\[= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + o(x^3) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3+ o(x^3)\]

Khai triển Maclaurin của \(\cos x\) đến bậc 3 là:
\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\]

Vậy,
\[f(x) = \sqrt{1 + \sin x} - \cos x = \left(1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3\right) - \left(1 - \frac{1}{2}x^2\right) + o(x^3)\]
\[= \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right)x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)\]
Vậy đáp án đúng là: \[f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}{x^2} - \frac{1}{12}{x^3} + o\left( {{x^3}} \right)\]
Có vẻ như không có đáp án nào hoàn toàn trùng khớp. Đáp án gần đúng nhất là A với sai số ở hệ số của x^3. Tuy nhiên nếu tính toán lại ta sẽ thấy hệ số đúng của x^3 là -1/12, không phải -1/48.

Để tính giới hạn đã cho, ta sử dụng khai triển Taylor hoặc quy tắc L'Hôpital.

Ta có \(\cos 2x = 1 - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^2}}}{{2!}} + o\left( {{x^2}} \right) = 1 - 2{x^2} + o\left( {{x^2}} \right)\)

Do đó, \(\ln \cos 2x = \ln \left( {1 - 2{x^2} + o\left( {{x^2}} \right)} \right) = - 2{x^2} + o\left( {{x^2}} \right)\)

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \cos 2x}}{{\left( {{x^2} + 3x} \right)\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2{x^2}}}{{\left( {3x} \right)x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2{x^2}}}{{3{x^2}}} = - \frac{2}{3}\)

Vậy L = -2/3. Suy ra a = -2 và b = 3. Do đó, S = a + b = -2 + 3 = 1.

Ta cần so sánh tốc độ tăng của các VCL khi x tiến tới +∞.

* A. xln(x)
* B. 1/(e^xln(x)): VCL này tiến tới 0 khi x → +∞, do đó bậc của nó thấp hơn tất cả các VCL còn lại.
* C. xln^2(x)
* D. √x/ln(x)

So sánh A và C: xln(x) và xln^2(x). Vì ln^2(x) > ln(x) khi x đủ lớn, nên xln^2(x) có bậc cao hơn xln(x).

So sánh C và D: xln^2(x) và √x/ln(x). Ta có thể viết lại √x/ln(x) = x^(1/2) / ln(x). Rõ ràng, khi x đủ lớn, xln^2(x) tăng nhanh hơn √x/ln(x), do đó xln^2(x) có bậc cao hơn.

Vậy, VCL có bậc cao nhất là xln^2(x).

Để tìm hệ số góc của tiệm cận xiên của đường cong $y=\sqrt[3]{x^3-3x+2}$, ta cần tìm giới hạn của $\frac{y}{x}$ khi $x$ tiến tới vô cùng.

Ta có: $k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^3-3x+2}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+2}{x^3}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{1-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}=\sqrt[3]{1}=1$

Vậy, hệ số góc của tiệm cận xiên là k = 1.

Để tìm tiệm cận đứng của hàm số $y={(x-1)}^{\frac{1}{x}}$, ta cần tìm các giá trị của x mà tại đó hàm số tiến tới vô cùng hoặc không xác định.

1. Điều kiện xác định: Hàm số xác định khi $x-1>0$ (do có số mũ không nguyên) và $x\ne 0$ (do x ở mẫu số của số mũ). Vậy, $x>1$.

2. Xét giới hạn:
- Khi $x\to 0^{+}$, hàm số không xác định do điều kiện xác định $x>1$.
- Khi $x\to 1^{+}$, ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{(x-1)}^{\frac{1}{x}}=0^1=0$. Vậy x = 1 không là tiệm cận đứng.

Do đó, hàm số không có tiệm cận đứng.