Xét tiệm cận đứng của hàm số $y={(x-1)}^{\frac{1}{x}}$

Ta có $f(x) = \sqrt{1-x^2} arcsin(x)$. Để tìm $df(\frac{1}{2})$, ta cần tìm đạo hàm của $f(x)$ rồi thay $x = \frac{1}{2}$.

$f'(x) = (\sqrt{1-x^2})' arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} (arcsin(x))'$
$f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} arcsin(x) + 1$

Thay $x = \frac{1}{2}$ vào $f'(x)$:
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} arcsin(\frac{1}{2}) + 1$
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \frac{\pi}{6} + 1$
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\pi}{6} + 1$
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{-1}{\sqrt{3}} \frac{\pi}{6} + 1 = \frac{-\pi}{6\sqrt{3}} + 1$

Vậy $df(\frac{1}{2}) = f'(\frac{1}{2})dx = (\frac{-\pi}{6\sqrt{3}} + 1) dx$.

Vậy đáp án đúng là C.

Ta có: |(ln³n)/n⁴ * sin(nπ/2)| = |ln³n|/n⁴ * |sin(nπ/2)| ≤ |ln³n|/n⁴

Vì lim (n→∞) |ln³n|/n⁴ = 0 (do bậc của n lớn hơn bậc của ln(n)), suy ra lim (n→∞) (ln³n)/n⁴ * sin(nπ/2) = 0.

Vậy đáp án đúng là C.

Để xác định VCB (vô cùng bé) có bậc thấp nhất khi x → 0, ta cần xét giới hạn của từng biểu thức khi x tiến đến 0 và so sánh bậc của chúng.

A. \(\mroot{1-3x^2}{3} - 1\)
Sử dụng khai triển Taylor: \((1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u\) khi u → 0.
Ở đây, u = -3x^2 và \(\alpha = \frac{1}{3}\). Vậy, \(\mroot{1-3x^2}{3} - 1 \approx 1 + \frac{1}{3}(-3x^2) - 1 = -x^2\). Bậc của VCB này là 2.

B. \(e^{2x}sin^2x\)
Sử dụng khai triển Taylor: \(e^{2x} \approx 1 + 2x\) và \(sin(x) \approx x\) khi x → 0.
Vậy, \(e^{2x}sin^2x \approx (1 + 2x)x^2 \approx x^2\). Bậc của VCB này là 2.

C. \(tan(x) - sin(x)\)
Sử dụng khai triển Taylor: \(tan(x) \approx x + \frac{x^3}{3}\) và \(sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6}\) khi x → 0.
Vậy, \(tan(x) - sin(x) \approx (x + \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{6}) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{2}\). Bậc của VCB này là 3.

D. \(e^{x^2} - e^x\)
Sử dụng khai triển Taylor: \(e^{x^2} \approx 1 + x^2\) và \(e^x \approx 1 + x\) khi x → 0.
Vậy, \(e^{x^2} - e^x \approx (1 + x^2) - (1 + x) = x^2 - x \approx -x\) khi x → 0 (vì x có bậc thấp hơn x^2). Bậc của VCB này là 1.

So sánh bậc của các VCB, ta thấy VCB ở đáp án D có bậc thấp nhất (bậc 1).

Ta có: $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{2}=\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^{\frac{1}{n}}=2^0=1$

Vậy $\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt[n]{2} -1)=1-1=0$