Tính$\underset{x\to 0}{\lim }{(\cos \left(x\right)+{\sin }^{2}x)}^{\frac{x+1}{x^2-3x\tan \left(x\right)}}$

Đáp án A: Hàm $\frac{e^x}{x}$ gián đoạn tại x=0 (1 điểm gián đoạn).
Đáp án B: Hàm $\frac{\sin \left(x\right)}{x^2+x}=\frac{\sin \left(x\right)}{x(x+1)}$ gián đoạn tại x = 0 và x = -1 (2 điểm gián đoạn).
Đáp án C: Hàm $\frac{x}{\sin \left(x\right)}$ gián đoạn tại các điểm $x=k\pi$ với k là số nguyên khác 0. Vì sin(x) = 0 khi $x=k\pi$. Vậy có vô số điểm gián đoạn.
Đáp án D: Hàm xex liên tục trên R vì $e^x$ luôn khác 0.
Vậy hàm có nhiều hơn 2 điểm gián đoạn là đáp án C.

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = |x² - 4x| trên đoạn [1; 5], ta thực hiện các bước sau:

1. Xét hàm số g(x) = x² - 4x trên đoạn [1; 5].
2. Tìm các điểm tới hạn của g(x) bằng cách giải g'(x) = 0.
g'(x) = 2x - 4 = 0 <=> x = 2. Điểm x = 2 thuộc đoạn [1; 5].
3. Tính giá trị của g(x) tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn [1; 5]:
g(1) = 1 - 4 = -3
g(2) = 4 - 8 = -4
g(5) = 25 - 20 = 5
4. Suy ra:
f(1) = |-3| = 3
f(2) = |-4| = 4
f(5) = |5| = 5
5. Vậy, GTNN của f(x) trên [1; 5] là 3 (đạt tại x = 1), và GTLN của f(x) trên [1; 5] là 5 (đạt tại x = 5).

Tuy nhiên, các phương án A, B, C, D đều không chính xác. Có lẽ câu hỏi hoặc các đáp án có sai sót. Nhưng nếu đề hỏi giá trị của f(x) thì đáp án gần đúng nhất là D. 0; 5, tuy nhiên 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn này. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3.

Để tính giới hạn này, ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định.
Ta có:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} - \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} } \right)\)
Nhân và chia cho biểu thức liên hợp:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {3{x^2} - 4x + 2} \right) - \left( {3{x^2} + 4x - 1} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} + \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 8x + 3}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} + \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} }}\)
Chia cả tử và mẫu cho x:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 8 + \frac{3}{x}}}{{\sqrt {3 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + \sqrt {3 + \frac{4}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 8}}{{2\sqrt 3 }} = - \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy đáp án đúng là C.

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = 0 và x = 1.

* Tính liên tục tại x = 0:

Ta có: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{1 - cos6x}}{{{x^2}}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{36si{n^2}3x}}{{2{x^2}}} = 18\]

\[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + b} \right) = b\]

\(f\left( 0 \right) = b\)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 18\]

* Tính liên tục tại x = 1:

Ta có: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} \left( {ax + b} \right) = a + b = a + 18\]

\[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln x}}{{{x^2} + 2x - 3}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln \left[ {1 + \left( {x - 1} \right)} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln \left[ {1 + \left( {x - 1} \right)} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)}}.\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)}} = 1.\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

\(f\left( 1 \right) = a + b = a + 18\)

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a + 18 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = - \frac{{71}}{4}\]

Vậy \(a = - \frac{{71}}{4};b = 18\)