Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos x + {{\sin }^2}x} \right)^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}\]

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = |x² - 4x| trên đoạn [1; 5], ta thực hiện các bước sau:

1. Xét hàm số g(x) = x² - 4x trên đoạn [1; 5].
2. Tìm các điểm tới hạn của g(x) bằng cách giải g'(x) = 0.
g'(x) = 2x - 4 = 0 <=> x = 2. Điểm x = 2 thuộc đoạn [1; 5].
3. Tính giá trị của g(x) tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn [1; 5]:
g(1) = 1 - 4 = -3
g(2) = 4 - 8 = -4
g(5) = 25 - 20 = 5
4. Suy ra:
f(1) = |-3| = 3
f(2) = |-4| = 4
f(5) = |5| = 5
5. Vậy, GTNN của f(x) trên [1; 5] là 3 (đạt tại x = 1), và GTLN của f(x) trên [1; 5] là 5 (đạt tại x = 5).

Tuy nhiên, các phương án A, B, C, D đều không chính xác. Có lẽ câu hỏi hoặc các đáp án có sai sót. Nhưng nếu đề hỏi giá trị của f(x) thì đáp án gần đúng nhất là D. 0; 5, tuy nhiên 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn này. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3.

Để tính giới hạn này, ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định.
Ta có:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} - \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} } \right)\)
Nhân và chia cho biểu thức liên hợp:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {3{x^2} - 4x + 2} \right) - \left( {3{x^2} + 4x - 1} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} + \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 8x + 3}}{{\sqrt {3{x^2} - 4x + 2} + \sqrt {3{x^2} + 4x - 1} }}\)
Chia cả tử và mẫu cho x:
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 8 + \frac{3}{x}}}{{\sqrt {3 - \frac{4}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + \sqrt {3 + \frac{4}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 8}}{{2\sqrt 3 }} = - \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy đáp án đúng là C.

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = 0 và x = 1.

* Tính liên tục tại x = 0:

Ta có: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{1 - cos6x}}{{{x^2}}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{36si{n^2}3x}}{{2{x^2}}} = 18\]

\[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + b} \right) = b\]

\(f\left( 0 \right) = b\)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \[\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 18\]

* Tính liên tục tại x = 1:

Ta có: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} \left( {ax + b} \right) = a + b = a + 18\]

\[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln x}}{{{x^2} + 2x - 3}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln \left[ {1 + \left( {x - 1} \right)} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\ln \left[ {1 + \left( {x - 1} \right)} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)}}.\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)}} = 1.\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

\(f\left( 1 \right) = a + b = a + 18\)

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \[\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a + 18 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = - \frac{{71}}{4}\]

Vậy \(a = - \frac{{71}}{4};b = 18\)

Để tìm đạo hàm y'(2) của hàm số cho bởi phương trình tham số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm dy/dx theo tham số t:
Ta có x = 2e^t và y = t + t^2. Vậy:
dx/dt = 2e^t
dy/dt = 1 + 2t
Suy ra, dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (1 + 2t) / (2e^t)

2. Tìm giá trị của t khi x = 2:
Khi x = 2, ta có 2 = 2e^t => e^t = 1 => t = 0.

3. Tính y'(2) = dy/dx khi t = 0:
y'(2) = (1 + 2*0) / (2e^0) = 1 / 2

Vậy, y'(2) = 1/2.

Để tìm khai triển Maclaurin của hàm số \(f(x) = \sqrt{1 + \sin x} - \cos x\) đến bậc 3, ta cần khai triển \(\sqrt{1 + \sin x}\) và \(\cos x\) đến bậc 3 rồi thực hiện phép trừ.

Khai triển Maclaurin của \(\sin x\) đến bậc 3 là:
\[\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\]

Do đó:
\[\sqrt{1 + \sin x} = \sqrt{1 + \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)}\]

Sử dụng khai triển Taylor \(\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + o(u^3)\) với \(u = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\), ta có:
\[\sqrt{1 + \sin x} = 1 + \frac{1}{2}\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{1}{8}{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2} + \frac{1}{16}{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3} + o(x^3)\]
\[= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + o(x^3) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3+ o(x^3)\]

Khai triển Maclaurin của \(\cos x\) đến bậc 3 là:
\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\]

Vậy,
\[f(x) = \sqrt{1 + \sin x} - \cos x = \left(1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3\right) - \left(1 - \frac{1}{2}x^2\right) + o(x^3)\]
\[= \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right)x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)\]
Vậy đáp án đúng là: \[f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}{x^2} - \frac{1}{12}{x^3} + o\left( {{x^3}} \right)\]
Có vẻ như không có đáp án nào hoàn toàn trùng khớp. Đáp án gần đúng nhất là A với sai số ở hệ số của x^3. Tuy nhiên nếu tính toán lại ta sẽ thấy hệ số đúng của x^3 là -1/12, không phải -1/48.