Cho f là hàm khả vi tại mọi điểm và \[g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{1 + f\left( {\arctan x} \right)}}\]. Biết \[f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1,f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4.\] Tính g’(1).
Đáp án đúng: A
Để tính g’(1), ta cần tính đạo hàm của hàm g(x) và sau đó thay x = 1 vào.
Ta có:\[g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{1 + f\left( {\arctan x} \right)}}\]
Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương:\[g'\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)'}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)^2}}\]
Tính các đạo hàm cần thiết:\[\left( {x + 2} \right)' = 1\]\[\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)' = f'\left( {\arctan x} \right).\left( {\arctan x} \right)' = f'\left( {\arctan x} \right).\frac{1}{{1 + x^2}}\]
Thay vào công thức đạo hàm của g(x):\[g'\left( x \right) = \frac{{1.\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right) - \left( {x + 2} \right).f'\left( {\arctan x} \right).\frac{1}{{1 + x^2}}}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan x} \right)} \right)^2}}\]
Bây giờ, thay x = 1 vào biểu thức trên:\[g'\left( 1 \right) = \frac{{1 + f\left( {\arctan 1} \right) - \left( {1 + 2} \right).f'\left( {\arctan 1} \right).\frac{1}{{1 + 1^2}}}}{{\left( {1 + f\left( {\arctan 1} \right)} \right)^2}}\]
Ta biết \(\arctan 1 = \frac{\pi }{4}\), \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\), và \(f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\). Thay các giá trị này vào:\[g'\left( 1 \right) = \frac{{1 + 1 - 3.4.\frac{1}{2}}}{{\left( {1 + 1} \right)^2}} = \frac{{2 - 6}}{4} = \frac{{ - 4}}{4} = - 1\]
Vậy, g’(1) = -1.
