Giới hạn của hàm số \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\left( {1 + 2 + 3 + ... + \left[ {\frac{1}{{\left| x \right|}}} \right]} \right)\] bằng:

Để tìm khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số \(f(x) = e^{x^2 + 2x - 1}\) tại \(x_0 = -1\), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính các đạo hàm của hàm số:
- \(f(x) = e^{x^2 + 2x - 1}\)
- \(f'(x) = (2x + 2)e^{x^2 + 2x - 1}\)
- \(f''(x) = (2x + 2)^2 e^{x^2 + 2x - 1} + 2e^{x^2 + 2x - 1} = ((2x+2)^2 + 2)e^{x^2 + 2x - 1}\)
- \(f'''(x) = ((2x+2)^3 + 4(2x+2))e^{x^2 + 2x - 1}\)
- \(f''''(x) = ((2x+2)^4 + 6(2x+2)^2 + 4)e^{x^2 + 2x - 1}\)

2. Tính giá trị của các đạo hàm tại \(x_0 = -1\):
- \(f(-1) = e^{(-1)^2 + 2(-1) - 1} = e^{1 - 2 - 1} = e^{-2}\)
- \(f'(-1) = (2(-1) + 2)e^{-2} = 0\)
- \(f''(-1) = (0^2 + 2)e^{-2} = 2e^{-2}\)
- \(f'''(-1) = (0^3 + 0)e^{-2} = 0\)
- \(f''''(-1) = (0^4 + 0 + 4)e^{-2} = 4e^{-2}\)

3. Xây dựng khai triển Taylor:
Khai triển Taylor đến cấp 4 có dạng:
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \frac{f''''(x_0)}{4!}(x - x_0)^4 + o((x - x_0)^4)\]
Thay các giá trị đã tính vào:
\[f(x) = e^{-2} + 0(x + 1) + \frac{2e^{-2}}{2}(x + 1)^2 + \frac{0}{6}(x + 1)^3 + \frac{4e^{-2}}{24}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\]
\[f(x) = e^{-2} + e^{-2}(x + 1)^2 + \frac{e^{-2}}{6}(x + 1)^3 + \frac{e^{-2}}{6}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\]
\[f(x) = e^{-2}\left(1 + (x + 1)^2 + \frac{1}{2}(x + 1)^3 + \frac{1}{6}(x + 1)^4 + o((x + 1)^4)\right)\]

Vậy, khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số là:
\[f(x) = e^{-2}\left(1 + (1 + x)^2 + \frac{1}{2}(1 + x)^3 + \frac{1}{6}(1 + x)^4 + o((1 + x)^4)\right)\]
So sánh với các đáp án, ta thấy không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn. Tuy nhiên, đáp án B có dạng gần đúng nhất, chỉ sai khác ở hệ số của \((1+x)^4\). Do đó, đáp án D là chính xác nhất.

Câu hỏi yêu cầu tìm hàm ngược của hàm số \(g(x) = e^x + \arctan x\). Tuy nhiên, các phương án đưa ra đều không có cơ sở và không liên quan đến việc tìm hàm ngược một cách trực tiếp. Hàm số \(g(x)\) là một hàm tăng trên tập số thực, nên có hàm ngược. Tuy nhiên, việc tìm biểu thức tường minh cho hàm ngược của \(g(x)\) là khôngElementary và không thể biểu diễn bằng các hàm sơ cấp thông thường. Vì vậy, các đáp án A, B, và C đều sai. Đáp án đúng là D: Các câu khác sai.

Vì x = -1 nên \\(ln(t^3 + 2) - 1 = -1 \\Rightarrow ln(t^3 + 2) = 0 \\Rightarrow t^3 + 2 = 1 \\Rightarrow t^3 = -1 \\Rightarrow t = -1\\). Ta có:\\(\\dfrac{dx}{dt} = \\dfrac{3t^2}{t^3 + 2}\\), \\(\\dfrac{dy}{dt} = (2t - 1)cos(t^2 - t - 2)\\).\\Khi t = -1 thì \\(\\dfrac{dx}{dt} = \\dfrac{3}{(-1) + 2} = 3\\); \\(\\dfrac{dy}{dt} = (-2 - 1)cos(1 + 1 - 2) = -3cos(0) = -3\\).\\Vậy \\(\\dfrac{dy}{dx} = \\dfrac{\\dfrac{dy}{dt}}{\\dfrac{dx}{dt}} = \\dfrac{-3}{3} = -1\\).