Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm.
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Gọi x (mét) là cạnh của hình vuông bị cắt ở mỗi góc (0 < x < 0.5). Khi đó, cạnh đáy của lăng trụ đều là 1-2x (mét) và chiều cao của lăng trụ là x (mét). Vì đây là lăng trụ đều nên đáy là tam giác đều có cạnh 1-2x. Diện tích đáy là $S = \frac{{(1 - 2x)^2\sqrt 3 }}{4}$. Thể tích của lăng trụ là $V = S.h = \frac{{(1 - 2x)^2\sqrt 3 }}{4}.x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(1 - 4x + 4x^2)x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(4x^3 - 4x^2 + x)$.
Để tìm thể tích lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(4x^3 - 4x^2 + x)$ trên khoảng (0, 0.5).
Tính đạo hàm: $V'(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(12x^2 - 8x + 1)$.
Giải phương trình $V'(x) = 0$:
$12x^2 - 8x + 1 = 0$
$\Delta' = 16 - 12 = 4$
$x_1 = \frac{{4 + 2}}{{12}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$ (loại vì x < 0.5)
$x_2 = \frac{{4 - 2}}{{12}} = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}$
Kiểm tra $x = \frac{1}{6}$: $V\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {4{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^3} - 4{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{4}{{216}} - \frac{4}{{36}} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{1}{{54}} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{{1 - 6 + 9}}{{54}}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{{54}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}}$ (mét khối)
Đổi mét khối sang decimet khối: $V = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}} {m^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{54}} * 1000 d{m^3} \approx 0.032 {dm^3}$ (không trùng với đáp án nào).
Vì vậy, đáp án đúng là: D. Các câu khác sai.
