Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\cos (1 - x)}}{{\mathop x\nolimits^2 - 2x}}\)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\cos \frac{1}{n}}}{{\mathop n\nolimits^2 + n + 1}}\)

Cho hàm số \(y = \ln \sqrt[5]{{\frac{{1 + \sin x}}{{\mathop e\nolimits^{ - x} }}}}\) . Tính y '?

Tính tích phân \(I = \int {3{{\cos }^3}xdx} \)

Cho hàm số \(f(x) = \mathop x\nolimits^2 - 2x + 4\) . Tìm \(\mathop f\nolimits^{ - 1} (4)\)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{4 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt[4]{x}}}\)

Để tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{7}{2}} {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{2x + 1}}}}} ,\) một sinh viên giải theo mấy bước dưới đây:

Bước 1: Đặt \(t = \sqrt[3]{{2x + 1}}.\) Suy ra \({t^3} = 2x + 1\) và \(3{t^2}dt = 2dx\,\,\,hay\,\,\,dx = \frac{2}{3}{t^2}dt\)  

Bước 2 : Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = 2\) 

Bước 3: \(I = \frac{3}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{{t^2}dt}}{t}} = \frac{3}{2}\int\limits_1^2 {tdt = } \frac{3}{4}\left[ {{t^2}} \right]_1^2 = \frac{9}{4}\) 

Lời giải đó đúng hay sai. Nếu sai thì sai từ bước nào?

Tìm chu kỳ của hàm số \(f(x) = \sin 2x + \cos 2x\) 

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 3\arctan x}}{{\mathop e\nolimits^{2x} - 1}}\)

Cho hàm hai biến \(z = arctg(y - x)\) . Vi phân toàn phần cấp một của z là:

Tìm miền xác định của hàm số \(f(x) = \frac{{\arcsin 2x}}{{1 - \mathop {4x}\nolimits^2 }}\)

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 - 1} {\frac{{dx}}{{2 + {x^2} + 2x}}} \)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{{\mathop {\sin }\nolimits^2 x}} - \frac{1}{{\mathop x\nolimits^2 }})\,\,\,\,\)

Xét bài toán: Tính giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \frac{{\mathop {(e}\nolimits^{\sin x} - 1)(1 - \cos 2x)}}{{\arcsin x.\ln (1 + \mathop x\nolimits^2 )}}\)

Một sinh viên giải bài toán này theo mấy bước dưới đây: 

Bước 1: Áp dụng quy tắc thay vô cùng bé tương đương, giới hạn trở thành: \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 )}}\) 

Bước 2: Thay tiếp sinx bởi x và rút gọn ta được: \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\) \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\)

Bước 3: Vậy giới hạn cần tính là L = 2

Lời giải đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

Cho hàm số \(y = x\mathop e\nolimits^{ - x} \) . Tính y '''(0)?

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop e\nolimits^n \mathop {\sin e}\nolimits^{ - n + 1} \)

Cần và đủ để hàm \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 0\\ a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \right.\) liên tục tại x = 0 là:

Cho hàm số \(y = \sqrt[3]{{1 - {x^3}}}\)Khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm chu kỳ của hàm số \(f(x) = \sin 2x + \cos 2x\) 

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (\mathop {2 - \sqrt x )}\nolimits^{ - \frac{1}{{\ln x}}}\)

Tính y^'(\(\sqrt 3 \)) biết x= 2 cos t, y = sin t và \(0 \le t \le \frac{\pi }{2}\)