Cần và đủ để hàm \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 0\\ a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \right.\) liên tục tại x = 0 là:

Cho hàm \(z = {x^2} - 2y + {y^2}\) . Chọn câu sai?

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\mathop {\cos x)}\nolimits^{ - \frac{2}{{\mathop x\nolimits^2 }}} \)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{4 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt[4]{x}}}\)

Giá trị giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(\sqrt {\mathop n\nolimits^2 + 2} - \sqrt {\mathop n\nolimits^2 - 1} )\)  là:

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\left| {2 - x} \right|} dx\)

Tính \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x\ln x}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx.\)

Tìm chu kỳ của hàm số \(f(x) = \sin 2x + \cos 2x\) 

Tính tích phân \(\int {\frac{{dx}}{{2 - 5{x^2}}}}\)

Tính \(I = \int\limits_3^{ + \infty } {\frac{{{x^2}}}{{{x^6} - 2}}} dx\)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin (1 - x)}}{{\mathop x\nolimits^2 - 1}}\)

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\frac{{\mathop n\nolimits^2 - 3n + 2}}{{1 + 2 + ... + n}}\) là:

Định nghĩa nào sau đây đúng về tích phân suy rộng?

Tính tích phân \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {2 - 7{x^2}} }}}\)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\cos \frac{1}{n}}}{{\mathop n\nolimits^2 + n + 1}}\)

Phân loại điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = \mathop x\nolimits^2 \sin \frac{1}{x}\)

Xét bài toán: Tính giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \frac{{\mathop {(e}\nolimits^{\sin x} - 1)(1 - \cos 2x)}}{{\arcsin x.\ln (1 + \mathop x\nolimits^2 )}}\)

Một sinh viên giải bài toán này theo mấy bước dưới đây: 

Bước 1: Áp dụng quy tắc thay vô cùng bé tương đương, giới hạn trở thành: \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 )}}\) 

Bước 2: Thay tiếp sinx bởi x và rút gọn ta được: \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\) \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\)

Bước 3: Vậy giới hạn cần tính là L = 2

Lời giải đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

Cho hàm số \(y = \frac{{\mathop e\nolimits^{\sqrt x } }}{{\sqrt[3]{x}}}\) . Tính y^'?

Cho bài toán: Xét tính liên tục của hàm \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\ln (1 + 2x).\mathop {\sin }\nolimits^2 x}}{{\mathop x\nolimits^3 }}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 0\\ 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \right.\) 

Một sinh viên giải bài toán này theo các bước dưới đây:

Bước 1: Khi \(x \ne 0\) , f(x) là hàm số sơ cấp. Do đó hàm số này liên tục tại mọi  

Bước 2: Xét hàm số trong lân cận của điểm x = 0. Áp dụng quy tắc thay vô cùng bé tương đương, ta tính được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 2x).\mathop {\sin }\nolimits^2 x}}{{\mathop x\nolimits^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x.\mathop x\nolimits^2 }}{{\mathop x\nolimits^3 }} = 2\) 

Bước 3: Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 2 = f(0)\) nên f(x) liên tục tại x = 0. Vậy hàm số đã cho liên tục trên R.

Lời giải đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

Cho tích phân: \(\int\limits_0^3 {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}dx\,(x)\,va\,\,\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{{e^{ - {x^3}}}}}{{{x^3}}}} } dx\,(2)\). Phát biểu đúng:

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 3\arctan x}}{{\mathop e\nolimits^{2x} - 1}}\)