Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=3,\,AD=4\) và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc \(60{}^\circ \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi \(O=AC\cap BD\). Khi đó, \(SO\) là trục của hình chóp \(S.ABCD\).
Gọi \(M\) là trung điểm của của \(SD\). Kẻ đường trung trực của cạnh \(SD\) cắt \(SO\) tại \(I\). Khi đó, \(I\) là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).
Ta có: \(\Delta SMI\sim \Delta SOD\) suy ra \(\frac{SM}{SO}=\frac{SI}{SD}=\frac{MI}{OD}\Rightarrow SI=\frac{SM.SD}{SO}=\frac{S{{D}^{2}}}{2\text{S}O}\).
Ta có: \(OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=\frac{5}{2}\). Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\), ta có:
\(SO=\tan 60{}^\circ .O\text{D}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\), \(SD=\frac{OD}{\text{cos}\,\text{60}{}^\circ }=5\).
Suy ra \(SI=\frac{{{5}^{2}}}{2.\frac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\). Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\frac{500\sqrt{3}}{27}\pi \).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Sương Nguyệt Anh
Câu hỏi liên quan
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \({{2}^{x\,-\,3}}\,>\,8\) là?
-
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \(\log _{3}^{2}x-2{{\log }_{3}}x-7=0\) là?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có BBT như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là?
-
Với các số \(a,\ b>0\) thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=7ab\), giá trị biểu thức \({{\log }_{3}}\left( a+b \right)\) bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(0\le x\le 4000\) và \(5\left( {{25}^{y}}+2y \right)=x+{{\log }_{5}}{{\left( x+1 \right)}^{5}}-4\)?
-
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Khi đó, thể tích khối chóp \(A.AB{{C}^{'}}\) bằng?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số sau \(y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\cdot \)?
-
Gọi \(M,m\) lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x-1\) trên đoạn\(\left[ 1;5 \right]\). Tính giá trị \(T=2M-m\)?
-
Cho 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm \(O\) bán kính \(4\sqrt{3}\) thành 2 hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách \(h\) giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) bằng?
-
Cho ĐTHS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình:
Số nghiệm của phương trình \(\left| 2f\left( x \right)-3 \right|=1\) là?
-
Cho \(x,y>0\) và \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\). Tìm đẳng thức sai?
-
Cho biết thể tích \(V\) của khối trụ có chiều cao \(h=4\) cm và bán kính đáy \(r=3\) cm bằng?
-
Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện nào?
-
Cho hàm số \(y=f\left( 2-x \right)\) có BBT như sau:
Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(3{{f}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)-\left( m+2 \right)f\left( {{x}^{2}}-4x \right)+m-1=0\) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?
-
Cho có tháp nước như hình, tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ, phần mái phía trên dạng hình nón và đáy là nửa hình cầu. Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ, hình cầu và đường kính đáy của hình nón đều bằng 3m, chiều cao hình trụ là 2m, chiều cao của hình nón là 1m. Thể tích của toán bộ không gian bên trong tháp nước gần nhất với giá trị nào sau đây?
-
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình?
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có \(CD=2AB=2AD=6.\) Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng BC?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(\left( AC{D}' \right)\) & \(\left( ABCD \right)\). Giá trị của \(\tan \alpha \) bằng?
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x+2}{x-1}\). Gọi \(A,\ B,\ C\) là 3 điểm phân biệt thuộc \(\left( C \right)\) sao cho trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) thuộc đường thẳng \(\Delta :y=-3x+10\). Độ dài đoạn thẳng \(OH\) bằng?
-
Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng?
