Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}}\)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}}\), ta có thể biến đổi biểu thức như sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}} - 1} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2{x^2} + 3 - (2{x^2} - 1)}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{4}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}}\)
Bây giờ, ta biến đổi để sử dụng giới hạn đặc biệt \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{4}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{4}{{2{x^2} - 1}}} \right)}^{\frac{{2{x^2} - 1}}{4}}}} \right]^{\frac{4}{{2{x^2} - 1}} \cdot {x^2}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4{x^2}}}{{2{x^2} - 1}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{4}{{2 - \frac{1}{{{x^2}}}}}}} = {e^{\frac{4}{2}}} = {e^2}\)
Vậy giới hạn là \(e^2\).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
