Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = {3^{x/(1 - {x^2})}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

x = 1, x = -1, loại 2

x = 1, x = -1, loại 1

x = 1, x = -1, khử được

\(x = \pi\) , điểm nhảy

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Hàm số \(f(x) = {3^{x/(1 - {x^2})}}\) gián đoạn khi mẫu số của số mũ bằng 0, tức là \(1-x^2 = 0\), suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = -1\). Tại \(x = 1\) và \(x = -1\), giới hạn của \(f(x)\) tiến đến vô cùng, do đó đây là các điểm gián đoạn loại 2. Vì tại các điểm này, giới hạn không tồn tại (tiến đến vô cùng), nên không thể "khử" được. Vậy đáp án đúng là x = 1, x = -1, loại 2.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/(1 - \cos x)}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 15:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\cos x}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\cos x}}\) gián đoạn khi mẫu số bằng 0, tức là \(\cos x = 0\). Điều này xảy ra khi \(x = \frac{\pi }{2} + n\pi\), với n là số nguyên. Tại các điểm này, hàm số tiến đến vô cùng, do đó đây là các điểm gián đoạn loại 2 (gián đoạn không khử được).

Câu 16:

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} (\arcsin x)\cot x,\,x \ne 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) liên tục trên (-1,1).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có \(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\). Tính giới hạn của f(x) khi x tiến tới 0:

\(\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (\arcsin x) \cot x = \lim_{x \to 0} (\arcsin x) \frac{\cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{\sin x} \cdot \cos x\)

Ta biết \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\) và \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), cũng như \(\lim_{x \to 0} \cos x = 1\). Do đó:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{\sin x} \cdot \cos x = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)

Vậy, \(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\). Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần f(0) = a = 1.

Câu 17:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(y = {e^{ - 1/\left| x \right|}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm điểm gián đoạn của hàm số \(y = {e^{ - 1/\left| x \right|}}\), ta cần xét các điểm mà hàm số không xác định hoặc không liên tục.

* Xét x = 0: Tại x = 0, biểu thức \(\frac{1}{\left| x \right|}\) không xác định. Do đó, ta cần xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0 từ bên trái và bên phải.

* \(\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} {e^{ - 1/x}} = 0\)
* \(\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} {e^{ - 1/\left( { - x} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} {e^{1/x}} = 0\)

Vì cả hai giới hạn một bên đều tồn tại và bằng nhau (bằng 0), điểm x = 0 là một điểm gián đoạn khử được (removable discontinuity). Ta có thể định nghĩa lại hàm số tại x = 0 để hàm số trở nên liên tục tại điểm đó.

Vậy, x = 0 là điểm gián đoạn khử được.

*Các phương án khác*:

* Phương án 2: \(x = \pi\) không phải là điểm gián đoạn của hàm số vì hàm số xác định và liên tục tại điểm này.
* Phương án 3: x = e không phải là điểm gián đoạn của hàm số.
* Phương án 4: x = 0 là điểm gián đoạn khử được, không phải loại 2.

Câu 18:

Hàm số \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có \({f'_ + }(0)\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\)
Khi x > 0 thì \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\)
Suy ra \({f'_ + }(0) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2 - 2}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} (x - 3) = - 3\)

Câu 19:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{1/x}},\,x \ne 0\\ 0,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có f'(0) là:

Lời giải: