Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/{x^2}}}\)

Tính thể tích tròn xoay do \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) quay quanh Oy

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) biểu diễn một đường elip. Khi elip này quay quanh trục Oy, ta sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có hình dạng elipsoid dẹt. Thể tích của vật thể tròn xoay này được tính bằng công thức: \(V = \int_{ - b}^b {\pi {x^2}dy} \). Từ phương trình elip, ta có \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\) hay \({x^2} = {a^2}(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})\). Thay vào công thức tính thể tích, ta được: \(V = \pi \int_{ - b}^b {{a^2}(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})dy} = \pi {a^2}\int_{ - b}^b {(1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}})dy} = \pi {a^2}[y - \frac{{{y^3}}}{{3{b^2}}}]_{ - b}^b = \pi {a^2}[(b - \frac{{{b^3}}}{{3{b^2}}}) - ( - b - \frac{{{{( - b)}^3}}}{{3{b^2}}})] = \pi {a^2}[b - \frac{b}{3} + b - \frac{b}{3}] = \pi {a^2}[2b - \frac{{2b}}{3}] = \pi {a^2}\frac{{4b}}{3} = \frac{{4\pi }}{3}b{a^2}\). Vậy đáp án đúng là \(\frac{4}{3}\pi b{a^2}\).

Câu 23:

Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T thì:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, thì tích phân của f(x) trên một khoảng có độ dài T sẽ không phụ thuộc vào vị trí của khoảng đó. Điều này có nghĩa là tích phân từ a đến a+T sẽ bằng tích phân từ 0 đến T (hoặc bất kỳ khoảng nào khác có độ dài T).

Ta có:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Và:

\(\int_0^T f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^T f(x) dx\)

Suy ra:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^T f(x) dx\)

Tuy nhiên, để tìm ra đáp án chính xác trong các lựa chọn, ta cần biến đổi thêm.

Ta biết rằng:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Do tính tuần hoàn, ta cũng có:

\(\int_0^T f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^T f(x) dx\)

Nhưng biểu thức này không trực tiếp dẫn đến một trong các đáp án đã cho. Thay vào đó, ta xem xét một cách tiếp cận khác dựa trên tính chất của hàm tuần hoàn.

Xét tích phân \(\int_a^{a+T} f(x) dx\). Đặt \(u = x - a\), thì \(x = u + a\) và \(dx = du\). Khi \(x = a\) thì \(u = 0\), và khi \(x = a + T\) thì \(u = T\). Do đó:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(u + a) du\)

Vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, ta có thể viết:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Điều này vẫn không giúp ta trực tiếp chọn một trong các đáp án.

Tuy nhiên, xét đáp án thứ 4: \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx = - \int\limits_T^a {f(x)dx} } \)

Ta có \(- \int\limits_T^a {f(x)dx} = \int\limits_a^T {f(x)dx} \)

Và \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx} = \int\limits_a^T {f(x)dx} + \int\limits_T^{a+T} {f(x)dx} \)

Vì f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T, nên \(\int\limits_a^T {f(x)dx} = \int\limits_{a+T}^{T+T} {f(x)dx} \)

Đáp án thứ 4 đúng vì \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx} = \int\limits_a^T {f(x)dx} \)

Câu 24:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = - 2{x^2} + 3x + 6\) và đường thẳng \(y=x+2\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường cong:
Giải phương trình \( - 2{x^2} + 3x + 6 = x + 2\)
\( \Leftrightarrow - 2{x^2} + 2x + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow (x - 2)(x + 1) = 0\)
Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = -1\). Đây là cận tích phân.

2. Tính tích phân xác định:
Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức:
\(S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx\), trong đó \(f(x) = - 2{x^2} + 3x + 6\) và \(g(x) = x + 2\), \(a = -1\), \(b = 2\)
\(S = \int_{-1}^{2} |(- 2{x^2} + 3x + 6) - (x + 2)| dx = \int_{-1}^{2} |- 2{x^2} + 2x + 4| dx\)
\(S = \int_{-1}^{2} (- 2{x^2} + 2x + 4) dx = \left[ -\frac{2}{3}{x^3} + {x^2} + 4x \right]_{-1}^{2}\)
\(S = \left( -\frac{2}{3}{(2)^3} + {(2)^2} + 4(2) \right) - \left( -\frac{2}{3}{(-1)^3} + {(-1)^2} + 4(-1) \right)\)
\(S = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right) = \left( -\frac{16}{3} + 12 \right) - \left( \frac{2}{3} - 3 \right)\)
\(S = -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 = 15 - \frac{18}{3} = 15 - 6 = 9\)

Vậy diện tích hình phẳng là 9.

Câu 25:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{(4 - x)\sqrt {1 - {x^2}} }}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{(4 - x)\sqrt {1 - {x^2}} }}}\), ta sử dụng phép đổi biến \(x = \cos t\), với \(t \in [0, \pi]\). Khi đó, \(dx = -\sin t dt\) và \(\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos^2 t} = \sin t\).

Tích phân trở thành:

\(\int\limits_{\pi}^0 {\frac{{ - \sin t dt}}{{(4 - \cos t)\sin t}}} = \int\limits_0^{\pi} {\frac{{dt}}{{4 - \cos t}}}\)

Tiếp tục đổi biến \(u = \tan(\frac{t}{2})\), suy ra \(dt = \frac{{2du}}{{1 + u^2}}\) và \(\cos t = \frac{{1 - u^2}}{{1 + u^2}}\). Khi \(t = 0\) thì \(u = 0\), khi \(t = \pi\) thì \(u = +\infty\).

Tích phân trở thành:

\(\int\limits_0^{+\infty} {\frac{{\frac{{2du}}{{1 + u^2}}}}{{4 - \frac{{1 - u^2}}{{1 + u^2}}}}} = \int\limits_0^{+\infty} {\frac{{2du}}{{4(1 + u^2) - (1 - u^2)}}} = \int\limits_0^{+\infty} {\frac{{2du}}{{4 + 4u^2 - 1 + u^2}}} = \int\limits_0^{+\infty} {\frac{{2du}}{{3 + 5u^2}}} = 2\int\limits_0^{+\infty} {\frac{{du}}{{5u^2 + 3}}}\\)

\(= \frac{2}{5}\int\limits_0^{+\infty} {\frac{{du}}{{u^2 + \frac{3}{5}}}} = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \arctan\left( u \sqrt{\frac{5}{3}} \right) \bigg|_0^{+\infty} = \frac{2}{{\sqrt {15} }}\arctan\left( u \sqrt{\frac{5}{3}} \right) \bigg|_0^{+\infty} = \frac{2}{{\sqrt {15} }}\left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{{\sqrt {15} }}\\)

Vậy, kết quả của tích phân suy rộng là \(\frac{\pi}{{\sqrt {15} }}\).

Câu 26:

Cho \(S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{\pi }{{n(n + 1)}}}\). Chọn phát biểu đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{\pi }{{n(n + 1)}}} = \pi \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n(n + 1)}}} \)
Mà \(\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\) nên
\(S = \pi \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)} = \pi \mathop {lim}\limits_{N \to + \infty } \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)} \)
\(= \pi \mathop {lim}\limits_{N \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{N + 1}}} \right) = \pi \)

Câu 27:

Cho \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{a}{{4{n^2} - 1}}} \). Chọn phát biểu đúng:

Lời giải: