Cho \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{a}{{4{n^2} - 1}}} \). Chọn phát biểu đúng:

Ta có thể phân tích tổng đã cho như sau: \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{a}{{4{n^2} - 1}}} = a\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \) Sử dụng phân tích thành phân số đơn giản, ta có: \(\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}} = \frac{A}{{2n - 1}} + \frac{B}{{2n + 1}}\) \(1 = A(2n + 1) + B(2n - 1)\) Chọn n = 1/2: \(1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}\) Chọn n = -1/2: \(1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}\) Vậy, \(\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}})\) Do đó: \(a\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} = \frac{a}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}})} \) Đây là một tổng telescopic. Ta xét tổng riêng: \(S_N = \sum\limits_{n = 1}^N {(\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}})} = (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + ... + (\frac{1}{{2N - 1}} - \frac{1}{{2N + 1}}) = 1 - \frac{1}{{2N + 1}}\) Khi N tiến tới vô cùng, \(\frac{1}{{2N + 1}}\) tiến tới 0. Do đó: \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}})} = 1\) Vậy, \(S = \frac{a}{2}(1) = \frac{a}{2}\) Do đó, đáp án đúng là S = a/2.