Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{{3dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}}\)

\(\frac{{3\pi }}{2}\)

\(\frac{{\pi }}{4}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{{3dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}}\), ta thực hiện các bước sau: 1. **Biến đổi mẫu số:** \(x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1\) 2. **Viết lại tích phân:** \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{{3dx}}{{{{(x + 1)}^2} + 1}}} \) 3. **Đặt ẩn phụ:** Đặt \(u = x + 1\), suy ra \(du = dx\). Khi \(x = -2\) thì \(u = -1\). Khi \(x = 0\) thì \(u = 1\). Vậy, \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{3du}}{{{u^2} + 1}}} \) 4. **Tính tích phân:** Ta biết rằng \(\int {\frac{{du}}{{{u^2} + 1}}} = arctan(u) + C\), do đó: \(I = 3\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{du}}{{{u^2} + 1}}} = 3[arctan(u)]_{ - 1}^1 = 3[arctan(1) - arctan(-1)]\) \(I = 3[\frac{\pi }{4} - ( - \frac{\pi }{4})] = 3[\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}] = 3[\frac{{2\pi }}{4}] = \frac{{3\pi }}{2}\) Vậy, \(I = \frac{{3\pi }}{2}\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 4:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Xét hàm số \(f(x) = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }}\). Ta thấy \(f(-x) = \frac{{2(-x)}}{{\sqrt {{{(-x)}^6} + 1} }} = -\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }} = -f(x)\). Vậy \(f(x)\) là hàm số lẻ. Do đó, tích phân của hàm số lẻ trên đoạn đối xứng \([-1, 1]\) bằng 0. Tức là \(\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }}} = 0\).

Câu 5:

Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\cos xdx}}{{4 - \sin x}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đặt \(t = 4 - \sin x \Rightarrow dt = - \cos xdx\).
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 4\); \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 3\).
Khi đó, \(I = \int\limits_4^3 {\frac{{ - 3dt}}{t}} = 3\int\limits_3^4 {\frac{{dt}}{t}} = 3\left. {\ln t} \right|_3^4 = 3(\ln 4 - \ln 3)\).

Câu 6:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sin 2x + 2x,\,\,y = 2x,\,0 \le x \le \frac{\pi }{2}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 7:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tích phân suy rộng \(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}\) có điểm kỳ dị tại \(x = 9\). Ta cần xét sự hội tụ tại điểm này.

Ta có thể viết lại tích phân như sau:
\(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \int\limits_0^9 {\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}dx}\)

Xét cận trên của tích phân, khi \(x\) tiến gần đến 9, ta có \(x-9 \to 0\), do đó \(\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\) tiến đến vô cùng. Để xét sự hội tụ, ta so sánh với hàm \(\frac{1}{{x - 9}}\). Tuy nhiên, cách này không trực tiếp kết luận được.

Thay vào đó, ta xét tích phân không xác định:
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} \)
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\), ta có:
\(\int {\frac{{2tdt}}{{t - 3}}} = 2\int {\frac{{t - 3 + 3}}{{t - 3}}dt} = 2\int {\left( {1 + \frac{3}{{t - 3}}} \right)dt} = 2\left( {t + 3\ln \left| {t - 3} \right|} \right) + C = 2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right| + C\)
Do đó:
\(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left[ {2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right|} \right]_0^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left( {2\sqrt b + 6\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| - 6\ln 3} \right)\)
Khi \(b \to {9^ - }\), \(\sqrt b \to 3\), do đó \(\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| \to - \infty \). Vậy tích phân suy rộng này phân kỳ.

Câu 8:

Cho chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\) . Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có chuỗi số dương \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\). Ta sẽ so sánh chuỗi này với chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2{n^3}} }}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt 2 {n^{3/2}}} }}\). Vì \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^{3/2}}}}}\) hội tụ (chuỗi điều hòa tổng quát với số mũ lớn hơn 1), nên \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt 2 {n^{3/2}}} }}\) cũng hội tụ.

Xét giới hạn: \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2{n^3}} }}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{2{n^3}}}{{2n({n^2} + 7)}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 7}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{7}{{{n^2}}}}}} = 1\).

Vì giới hạn này hữu hạn và khác 0, theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\) hội tụ.

Câu 9:

Cho chuỗi \({\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n}\). Chọn phát biểu đúng?

Lời giải: