Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\cos xdx}}{{4 - \sin x}}}\)

\({\rm{3(ln 4 - ln 3)}}\)

\({\rm{(ln 4 + ln 3)}}\)

\({\rm{(ln 12 - ln 9)}}\)

\({\rm{ - ln 4 - ln 3}}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Đặt \(t = 4 - \sin x \Rightarrow dt = - \cos xdx\). Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 4\); \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 3\). Khi đó, \(I = \int\limits_4^3 {\frac{{ - 3dt}}{t}} = 3\int\limits_3^4 {\frac{{dt}}{t}} = 3\left. {\ln t} \right|_3^4 = 3(\ln 4 - \ln 3)\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sin 2x + 2x,\,\,y = 2x,\,0 \le x \le \frac{\pi }{2}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 7:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tích phân suy rộng \(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}\) có điểm kỳ dị tại \(x = 9\). Ta cần xét sự hội tụ tại điểm này.

Ta có thể viết lại tích phân như sau:
\(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \int\limits_0^9 {\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}dx}\)

Xét cận trên của tích phân, khi \(x\) tiến gần đến 9, ta có \(x-9 \to 0\), do đó \(\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\) tiến đến vô cùng. Để xét sự hội tụ, ta so sánh với hàm \(\frac{1}{{x - 9}}\). Tuy nhiên, cách này không trực tiếp kết luận được.

Thay vào đó, ta xét tích phân không xác định:
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} \)
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\), ta có:
\(\int {\frac{{2tdt}}{{t - 3}}} = 2\int {\frac{{t - 3 + 3}}{{t - 3}}dt} = 2\int {\left( {1 + \frac{3}{{t - 3}}} \right)dt} = 2\left( {t + 3\ln \left| {t - 3} \right|} \right) + C = 2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right| + C\)
Do đó:
\(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left[ {2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right|} \right]_0^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left( {2\sqrt b + 6\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| - 6\ln 3} \right)\)
Khi \(b \to {9^ - }\), \(\sqrt b \to 3\), do đó \(\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| \to - \infty \). Vậy tích phân suy rộng này phân kỳ.

Câu 8:

Cho chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\) . Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có chuỗi số dương \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\). Ta sẽ so sánh chuỗi này với chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2{n^3}} }}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt 2 {n^{3/2}}} }}\). Vì \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^{3/2}}}}}\) hội tụ (chuỗi điều hòa tổng quát với số mũ lớn hơn 1), nên \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt 2 {n^{3/2}}} }}\) cũng hội tụ.

Xét giới hạn: \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2{n^3}} }}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{2{n^3}}}{{2n({n^2} + 7)}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 7}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{7}{{{n^2}}}}}} = 1\).

Vì giới hạn này hữu hạn và khác 0, theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\) hội tụ.

Câu 9:

Cho chuỗi \({\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n}\). Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Xét chuỗi số \({\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n}\).
Ta có \(\sqrt[n]{{\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n}} = \frac{n}{{4n + 1}}\).
Khi \(n \to \infty \) thì \(\frac{n}{{4n + 1}} \to \frac{1}{4} < 1\).
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn căn Cauchy.

Câu 10:

Định nghĩa nào sau đây đúng về tích phân suy rộng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân có một hoặc cả hai cận là vô cùng. Định nghĩa chính xác của tích phân suy rộng với cận dưới là âm vô cùng và cận trên là b là giới hạn của tích phân từ a đến b khi a tiến tới âm vô cùng. Công thức đúng phải là \(\int\limits_{ - \infty }^b {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } } \int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Câu 11:

Khai triển Maclaurin của \(\sin (2{x^2})\) đến \(x^6\)

Lời giải: