Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/(1 - \cos x)}}\)

\(e^{-1}\)

\(\frac{1}{5}\)

Đáp án khác

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos x)^{1/(1 - \cos x)}}\), ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc biến đổi để đưa về dạng giới hạn quen thuộc.

Đặt \(y = {(\cos x)^{1/(1 - \cos x)}}\). Khi đó, \(\ln y = \frac{1}{1 - \cos x} \ln (\cos x)\).

Ta xét giới hạn của \(\ln y\) khi \(x \to 0\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\ln (\cos x)}{1 - \cos x}\)

Đây là dạng \(\frac{0}{0}\), ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\ln (\cos x)}{1 - \cos x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{\sin x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-1}{\cos x} = -1\)

Vậy, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = -1\). Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = e^{-1}\).

Vậy giới hạn của biểu thức là \(e^{-1}\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 15:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\cos x}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\cos x}}\) gián đoạn khi mẫu số bằng 0, tức là \(\cos x = 0\). Điều này xảy ra khi \(x = \frac{\pi }{2} + n\pi\), với n là số nguyên. Tại các điểm này, hàm số tiến đến vô cùng, do đó đây là các điểm gián đoạn loại 2 (gián đoạn không khử được).

Câu 16:

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} (\arcsin x)\cot x,\,x \ne 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) liên tục trên (-1,1).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có \(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\). Tính giới hạn của f(x) khi x tiến tới 0:

\(\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (\arcsin x) \cot x = \lim_{x \to 0} (\arcsin x) \frac{\cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{\sin x} \cdot \cos x\)

Ta biết \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\) và \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), cũng như \(\lim_{x \to 0} \cos x = 1\). Do đó:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{\sin x} \cdot \cos x = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)

Vậy, \(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\). Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần f(0) = a = 1.

Câu 17:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(y = {e^{ - 1/\left| x \right|}}\) và cho biết nó thuộc loại nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm điểm gián đoạn của hàm số \(y = {e^{ - 1/\left| x \right|}}\), ta cần xét các điểm mà hàm số không xác định hoặc không liên tục.

* Xét x = 0: Tại x = 0, biểu thức \(\frac{1}{\left| x \right|}\) không xác định. Do đó, ta cần xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0 từ bên trái và bên phải.

* \(\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} {e^{ - 1/x}} = 0\)
* \(\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} {e^{ - 1/\left( { - x} \right)}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} {e^{1/x}} = 0\)

Vì cả hai giới hạn một bên đều tồn tại và bằng nhau (bằng 0), điểm x = 0 là một điểm gián đoạn khử được (removable discontinuity). Ta có thể định nghĩa lại hàm số tại x = 0 để hàm số trở nên liên tục tại điểm đó.

Vậy, x = 0 là điểm gián đoạn khử được.

*Các phương án khác*:

* Phương án 2: \(x = \pi\) không phải là điểm gián đoạn của hàm số vì hàm số xác định và liên tục tại điểm này.
* Phương án 3: x = e không phải là điểm gián đoạn của hàm số.
* Phương án 4: x = 0 là điểm gián đoạn khử được, không phải loại 2.

Câu 18:

Hàm số \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có \({f'_ + }(0)\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\)
Khi x > 0 thì \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\)
Suy ra \({f'_ + }(0) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2 - 2}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} (x - 3) = - 3\)

Câu 19:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{1/x}},\,x \ne 0\\ 0,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có f'(0) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính f'(0), ta sử dụng định nghĩa đạo hàm:
f'(0) = lim (x->0) [f(x) - f(0)] / (x - 0) = lim (x->0) f(x) / x
Trong trường hợp này, ta cần xét giới hạn một bên:
- Giới hạn phải: lim (x->0+) e^(1/x) / x = +∞ (vì e^(1/x) tiến tới +∞ và x tiến tới 0+)
- Giới hạn trái: lim (x->0-) e^(1/x) / x = 0 (vì e^(1/x) tiến tới 0 và x tiến tới 0-)
Vì giới hạn phải và giới hạn trái không bằng nhau, giới hạn không tồn tại. Do đó, f'(0) không tồn tại.

Câu 20:

Đạo hàm cấp n của hàm e^ax là:

Lời giải: