Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T thì:

Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì T có nghĩa là f(x + T) = f(x) với mọi x. Tính chất quan trọng của tích phân hàm tuần hoàn là tích phân trên một khoảng có độ dài bằng chu kì T là không đổi, không phụ thuộc vào vị trí bắt đầu của khoảng đó. Cụ thể, ta có:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Bây giờ, ta cần biến đổi đáp án sao cho nó có dạng tương tự.

Ta có:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_a^T f(x) dx + \int_T^{a+T} f(x) dx\)

Đặt \(u = x - T\) trong tích phân thứ hai, suy ra \(x = u + T\) và \(dx = du\). Khi \(x = T\) thì \(u = 0\), và khi \(x = a + T\) thì \(u = a\). Do đó:

\(\int_T^{a+T} f(x) dx = \int_0^a f(u+T) du = \int_0^a f(u) du = \int_0^a f(x) dx\)

Vậy,

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_a^T f(x) dx + \int_0^a f(x) dx = - \int_T^a f(x) dx + \int_0^a f(x) dx\)

Tuy nhiên, không có đáp án nào phù hợp với biến đổi này. Xét tích phân từ a đến a+T, ta có thể viết:

\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)

Mà \(\int_0^T f(x) dx \) là một hằng số (không phụ thuộc vào a). Vậy đáp án chính xác phải thể hiện mối liên hệ đó. Đáp án 2 có vẻ gần đúng nhất, nhưng ta cần kiểm tra lại.

Ta có:
\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_a^0 f(x) dx + \int_0^{a+T} f(x) dx = -\int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(x) dx + \int_a^{a+T} f(x) dx\)
\(\Rightarrow \int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^{T} f(x) dx\). Điều này đúng.

Vậy đáp án đúng là đáp án số 2: \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx = \int\limits_0^T {f(x)dx} } \), nhưng vì \(\int\limits_0^{T} {f(x)dx} \) là hằng số nên \(\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx} \) phải bằng \(\int\limits_0^{a} {f(x)dx} \) khi và chỉ khi \(\int\limits_0^{T} {f(x)dx} = \int\limits_0^{a} {f(x)dx} \), điều này không đúng trong mọi trường hợp.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng đề bài cho \(\int_a^{a+T} f(x) dx\), không có đáp án nào đúng hoàn toàn. Đáp án 2 là gần đúng nhất trong các đáp án đưa ra.