Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\ln xdx}}{{{x^3}}}}\), ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Đặt \(u = \ln x\) và \(dv = \frac{1}{x^3}dx = x^{-3}dx\).
Khi đó, \(du = \frac{1}{x}dx\) và \(v = \int x^{-3}dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}\).
Áp dụng công thức tích phân từng phần \(\int udv = uv - \int vdu\), ta có:
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\ln xdx}}{{{x^3}}}} = \left[ {\ln x\left( { - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)} \right]_1^{ + \infty } - \int\limits_1^{ + \infty } {\left( { - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)\frac{1}{x}dx} \)
\( = \left[ { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}} \right]_1^{ + \infty } + \frac{1}{2}\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \)
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}\), ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{4{x^2}}} = 0\)
Vậy \(\left[ { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}} \right]_1^{ + \infty } = 0 - \left( { - \frac{{\ln 1}}{{2(1)^2}}} \right) = 0 - 0 = 0\).
Tiếp theo, tính tích phân \(\frac{1}{2}\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_1^{ + \infty } {{x^{ - 3}}dx} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}}} \right]_1^{ + \infty } = \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right]_1^{ + \infty }\)
\( = \frac{1}{2}\left( {0 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}\)
Vậy \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\ln xdx}}{{{x^3}}}} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).
