Cho \(S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{\pi }{{n(n + 1)}}}\). Chọn phát biểu đúng:

Ta có thể phân tích tổng đã cho như sau:

\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{a}{{4{n^2} - 1}}} = a\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \)

Sử dụng phân tích thành phân số đơn giản, ta có:

\(\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}} = \frac{A}{{2n - 1}} + \frac{B}{{2n + 1}}\)

\(1 = A(2n + 1) + B(2n - 1)\)

Chọn n = 1/2: \(1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}\)

Chọn n = -1/2: \(1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}\)

Vậy, \(\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}})\)

Do đó:

\(a\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} = \frac{a}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}})} \)

Đây là một tổng telescopic. Ta xét tổng riêng:

\(S_N = \sum\limits_{n = 1}^N {(\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}})} = (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + ... + (\frac{1}{{2N - 1}} - \frac{1}{{2N + 1}}) = 1 - \frac{1}{{2N + 1}}\)

Khi N tiến tới vô cùng, \(\frac{1}{{2N + 1}}\) tiến tới 0. Do đó:

\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}})} = 1\)

Vậy, \(S = \frac{a}{2}(1) = \frac{a}{2}\)

Do đó, đáp án đúng là S = a/2.

The definite integral of (ln x) / x^3 from 1 to infinity is solved using integration by parts. Let u = ln(x) and dv = dx/x^3. Then du = dx/x and v = -1/(2x^2). Applying integration by parts: integral(u dv) = uv - integral(v du). This becomes [-ln(x)/(2x^2)] from 1 to infinity + (1/2) * integral(dx/x^3) from 1 to infinity. The limit of ln(x)/(2x^2) as x approaches infinity is 0 (using L'Hopital's rule), and ln(1) = 0, so the first term evaluates to 0. The remaining integral is (1/2) * [-1/(2x^2)] from 1 to infinity = (1/2) * (0 - (-1/2)) = 1/4. Thus, the answer is 1/4.

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{(1 + x)\sqrt x }}} \), ta thực hiện phép đổi biến số:
Đặt \(t = \sqrt{x}\), suy ra \(x = t^2\) và \(dx = 2t dt\).
Khi \(x = 1\) thì \(t = 1\), khi \(x \to +\infty\) thì \(t \to +\infty\).
Khi đó tích phân trở thành:
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{2t dt}}{{(1 + t^2)t}}} = 2\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dt}}{{1 + t^2}}} = 2\left[ {arctan(t)} \right]_1^{ + \infty } = 2\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 2.\frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2}\).
Vậy đáp án đúng là \(\frac{\pi}{2}\). Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với kết quả này. Có thể có lỗi trong các phương án trả lời hoặc trong đề bài.

Câu hỏi yêu cầu tìm phát biểu sai về chuỗi số.

- Phương án 1: "Các số \(u_n\) có giá trị tăng khi n tiến ra \(+\infty\)" là sai. Một chuỗi số có thể hội tụ ngay cả khi các số hạng của nó không tăng khi n tiến ra vô cùng. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ là \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), nghĩa là số hạng tổng quát phải tiến đến 0.
- Phương án 2: "Nếu \({u_n} > 0,\forall n\) dãy \({S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{u_k}}\) là dãy tăng" là đúng. Vì mỗi số hạng \(u_n\) đều dương, tổng riêng \(S_n\) luôn tăng khi n tăng.
- Phương án 3: "Biểu thức của \(u_n\) được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số" là đúng, theo định nghĩa.
- Phương án 4: "\(\sum\limits_{k = 1}^n {{u_k}}\) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số" là đúng, theo định nghĩa.

Vậy, phương án sai là phương án 1.