Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\ln xdx}}{{{x^3}}}}\)

\(\frac{1}{8}\)

\(\frac{1}{4}\)

\(+ \infty\)

\(\frac{1}{5}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

The definite integral of (ln x) / x^3 from 1 to infinity is solved using integration by parts. Let u = ln(x) and dv = dx/x^3. Then du = dx/x and v = -1/(2x^2). Applying integration by parts: integral(u dv) = uv - integral(v du). This becomes [-ln(x)/(2x^2)] from 1 to infinity + (1/2) * integral(dx/x^3) from 1 to infinity. The limit of ln(x)/(2x^2) as x approaches infinity is 0 (using L'Hopital's rule), and ln(1) = 0, so the first term evaluates to 0. The remaining integral is (1/2) * [-1/(2x^2)] from 1 to infinity = (1/2) * (0 - (-1/2)) = 1/4. Thus, the answer is 1/4.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 29:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{(1 + x)\sqrt x }}} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{(1 + x)\sqrt x }}} \), ta thực hiện phép đổi biến số:
Đặt \(t = \sqrt{x}\), suy ra \(x = t^2\) và \(dx = 2t dt\).
Khi \(x = 1\) thì \(t = 1\), khi \(x \to +\infty\) thì \(t \to +\infty\).
Khi đó tích phân trở thành:
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{2t dt}}{{(1 + t^2)t}}} = 2\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dt}}{{1 + t^2}}} = 2\left[ {arctan(t)} \right]_1^{ + \infty } = 2\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 2.\frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2}\).
Vậy đáp án đúng là \(\frac{\pi}{2}\). Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với kết quả này. Có thể có lỗi trong các phương án trả lời hoặc trong đề bài.

Câu 30:

Cho chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}} \). Phát biểu nào sau đây là sai:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu hỏi yêu cầu tìm phát biểu sai về chuỗi số.

- Phương án 1: "Các số \(u_n\) có giá trị tăng khi n tiến ra \(+\infty\)" là sai. Một chuỗi số có thể hội tụ ngay cả khi các số hạng của nó không tăng khi n tiến ra vô cùng. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ là \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), nghĩa là số hạng tổng quát phải tiến đến 0.
- Phương án 2: "Nếu \({u_n} > 0,\forall n\) dãy \({S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{u_k}}\) là dãy tăng" là đúng. Vì mỗi số hạng \(u_n\) đều dương, tổng riêng \(S_n\) luôn tăng khi n tăng.
- Phương án 3: "Biểu thức của \(u_n\) được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số" là đúng, theo định nghĩa.
- Phương án 4: "\(\sum\limits_{k = 1}^n {{u_k}}\) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số" là đúng, theo định nghĩa.

Vậy, phương án sai là phương án 1.

Câu 1:

Tính \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{{{(5x + 3)}^2}}}}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{{{(5x + 3)}^2}}}}}} = \int {{{(5x + 3)}^{ - \frac{2}{3}}}dx} \)
\(= \frac{1}{5}.\frac{{{{(5x + 3)}^{1 - \frac{2}{3}}}}}{{1 - \frac{2}{3}}} + C = \frac{1}{5}.\frac{{{{(5x + 3)}^{\frac{1}{3}}}}}{{\frac{1}{3}}} + C\)
\(= \frac{3}{5}.\sqrt[3]{{5x + 3}} + C\)

Câu 2:

Tính \(\int {\frac{{2{e^x}dx}}{{{e^{2x}} - 2.{e^x} + 1}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đặt \(t = e^x\), suy ra \(dt = e^x dx\). Khi đó, tích phân trở thành:

\(\int {\frac{{2{e^x}dx}}{{{e^{2x}} - 2.{e^x} + 1}}} = \int {\frac{{2dt}}{{{t^2} - 2t + 1}}} = \int {\frac{{2dt}}{{{{(t - 1)}^2}}}} \)

\(= 2\int {{{(t - 1)}^{ - 2}}dt} = 2.\frac{{{{(t - 1)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = - \frac{2}{{t - 1}} + C = - \frac{2}{{{e^x} - 1}} + C\)

Vậy đáp án đúng là \(-\frac{2}{{{e^x} - 1}} + C\).

Câu 3:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{{3dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{{3dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}}\), ta thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi mẫu số:
\(x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1\)

2. Viết lại tích phân:
\(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{{3dx}}{{{{(x + 1)}^2} + 1}}} \)

3. Đặt ẩn phụ:
Đặt \(u = x + 1\), suy ra \(du = dx\).
Khi \(x = -2\) thì \(u = -1\).
Khi \(x = 0\) thì \(u = 1\).
Vậy, \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{3du}}{{{u^2} + 1}}} \)

4. Tính tích phân:
Ta biết rằng \(\int {\frac{{du}}{{{u^2} + 1}}} = arctan(u) + C\), do đó:
\(I = 3\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{du}}{{{u^2} + 1}}} = 3[arctan(u)]_{ - 1}^1 = 3[arctan(1) - arctan(-1)]\)
\(I = 3[\frac{\pi }{4} - ( - \frac{\pi }{4})] = 3[\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}] = 3[\frac{{2\pi }}{4}] = \frac{{3\pi }}{2}\)

Vậy, \(I = \frac{{3\pi }}{2}\).

Câu 4:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }}}\)

Lời giải: